А(2; 6; 12), B(4; 4; 2), C(-2; 0; 2), D(-8;-12;-6) Делая использование координатного метода, пожалуйста, выполните

Morskoy_Shtorm

19

Красно-голубая пирамида ABCD имеет вершины в точках A(2; 6; 12), B(4; 4; 2), C(-2; 0; 2) и D(-8;-12;-6). Давайте решим поставленные задачи, одну за другой:

а) Найдем значение косинуса угла φ между векторами →AB и →AD.

Для начала, найдем векторы →AB и →AD. Для этого вычтем координаты начальных точек из координат конечных точек:

→AB = B - A = (4 - 2; 4 - 6; 2 - 12) = (2; -2; -10),

→AD = D - A = (-8 - 2; -12 - 6; -6 - 12) = (-10; -18; -18).

Затем, найдем скалярное произведение этих векторов:

→AB · →AD = (2)(-10) + (-2)(-18) + (-10)(-18) = -20 + 36 + 180 = 196.

Далее, найдем модуль (длину) каждого вектора:

|→AB| = √(2² + (-2)² + (-10)²) = √(4 + 4 + 100) = √108 = 6√3,

|→AD| = √((-10)² + (-18)² + (-18)²) = √(100 + 324 + 324) = √748 = 2√187.

Теперь, найдем косинус угла φ с использованием формулы:

cos φ = (→AB · →AD) / (|→AB| * |→AD|) = 196 / (6√3 * 2√187).

Упростим это выражение:

cos φ = 196 / (12√51√187) = 196 / (12√9677) ≈ 0.2692.

Таким образом, значение косинуса угла φ между векторами →AB и →AD примерно равно 0.2692.

б) Найдем уравнение плоскости, содержащей грань BCD данной пирамиды.

Для того чтобы найти уравнение плоскости, нам понадобятся векторы, параллельные двум сторонам грани BCD. Вычислим их.

→BC = C - B = (-2 - 4; 0 - 4; 2 - 2) = (-6; -4; 0),

→BD = D - B = (-8 - 4; -12 - 4; -6 - 2) = (-12; -16; -8).

Теперь, найдем векторное произведение векторов →BC и →BD:

→BC × →BD = (-4)(-8) - (0)(-12); (-6)(-8) - (0)(-12); (-6)(-16) - (-6)(-12) = 32; -48; -144.

Заметим, что это вектор нормали к искомой плоскости.

Найдем уравнение плоскости, используя координаты любой точки на плоскости и найденный вектор нормали.

Выберем точку B(4; 4; 2). Уравнение плоскости имеет вид:

32(x - 4) - 48(y - 4) - 144(z - 2) = 0.

Упростим его:

32x - 128 - 48y + 192 - 144z + 288 = 0,

32x - 48y - 144z + 352 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, содержащей грань BCD данной пирамиды, можно записать как 32x - 48y - 144z + 352 = 0.

в) Найдем значение синуса угла между ребром AB и плоскостью, содержащей грань BCD.

Чтобы найти синус угла, мы должны знать длины ребра AB и проекции этого ребра на плоскость BCD.

Ранее мы уже определили вектор →AB = (2; -2; -10). Теперь найдем проекцию этого вектора на вектор, нормальный к плоскости BCD:

→AB_пр = →AB - (→AB · →BCD) * →BCD / |→BCD|²,

где →BCD - вектор нормали грани BCD (ранее найденный вектор (-4; -6; -144)).

→AB_пр = (2; -2; -10) - ((2)(-4) + (-2)(-6) + (-10)(-144)) * (-4; -6; -144) / ((-4)² + (-6)² + (-144)²).

Упростим это выражение:

→AB_пр = (2; -2; -10) - (8 + 12 + 1440) * (-4; -6; -144) / (16 + 36 + 20736),

→AB_пр = (2; -2; -10) - 1460 * (-4; -6; -144) / 20788.

Посчитаем значения:

→AB_пр = (2; -2; -10) - (-5840; -8760; -211200) / 20788,

→AB_пр = (2 + 5840/20788; -2 + 8760/20788; -10 + 211200/20788),

→AB_пр ≈ (2.2801; -1.6314; -19.1067).

Таким образом, проекция ребра AB на плоскость BCD примерно равна вектору (2.2801; -1.6314; -19.1067).

Теперь найдем длину этой проекции:

|→AB_пр| = √(2.2801² + (-1.6314)² + (-19.1067)²) ≈ √(5.2066 + 2.6639 + 364.7834) ≈ √372.65394 ≈ 19.3203.

Найдем также длину ребра AB:

|→AB| = √(2² + (-2)² + (-10)²) = √(4 + 4 + 100) = √108 = 6√3.

Наконец, найдем синус угла между ребром AB и плоскостью BCD, используя формулу:

sin α = |→AB_пр| / |→AB| = 19.3203 / (6√3) = 3.2201 / √3.

Однако, воспринимаемые значения изменяются в зависимости от настройки калькулятора. Поэтому округлим это до разумного значения:

sin α ≈ 3.2201 / √3 ≈ 1.8608.

Таким образом, значение синуса угла между ребром AB и плоскостью, содержащей грань BCD данной пирамиды, примерно равно 1.8608.