Нужно доказать, что плоскость, проходящая через точки E, N и S, параллельна плоскости, проходящей через точки A, B

Antonovich

3

Хорошо, давайте рассмотрим данную задачу подробнее.

Для доказательства параллельности двух плоскостей необходимо показать, что у них одинаковые нормальные векторы.

Для начала, давайте определим точки E, N, S, A и B на графике для наглядности.

Предлагаю построить плоскость, проходящую через точки E, N и S, и плоскость, проходящую через точки A и B.

\[graphic\]

В данной задаче, чтобы доказать параллельность рассматриваемых плоскостей, достаточно показать, что у них нормальные векторы равны.

1) Начнем с плоскости, проходящей через точки E, N и S. Чтобы найти нормальный вектор этой плоскости, мы можем использовать кросс-произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Выберем два любых ненулевых вектора EN и ES, проходящих через эти точки.

\[EN = \vec{N} - \vec{E} = (x_N - x_E, y_N - y_E, z_N - z_E)\]
\[ES = \vec{S} - \vec{E} = (x_S - x_E, y_S - y_E, z_S - z_E)\]

Для удобства вычислений возьмем EN как \((1, 0, 0)\) и ES как \((0, 1, 0)\). Тогда нормальный вектор плоскости, проходящей через точки E, N и S, будет равен:

\[EN \times ES = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1, 0, 1)\]

Таким образом, у плоскости, проходящей через точки E, N и S, нормальный вектор равен \((-1, 0, 1)\).

2) Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точки A и B. Для определения нормального вектора этой плоскости также воспользуемся кросс-произведением. Выберем два ненулевых вектора AB и AC, проходящих через эти точки.

\[AB = \vec{B} - \vec{A} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)\]

Так как мы не имеем явной информации о точке C в задании, будем считать ее координаты равными (0, 0, 0), то есть AC будет равен \((-x_A, -y_A, -z_A)\).

\[AB \times AC = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\ -x_A & -y_A & -z_A \end{vmatrix} = (y_Az_B - y_Bz_A, z_Ax_B - z_Bx_A, x_Ay_B - x_By_A)\]

В данном случае, обратим внимание, что вектор AB направлен из точки A в точку B, а вектор AC направлен из точки A в начало координат. Полученный нормальный вектор плоскости, проходящей через точки A и B, равен:

\[(y_Az_B - y_Bz_A, z_Ax_B - z_Bx_A, x_Ay_B - x_By_A)\]

Таким образом, у плоскости, проходящей через точки A и B, нормальный вектор равен \((y_Az_B - y_Bz_A, z_Ax_B - z_Bx_A, x_Ay_B - x_By_A)\).

3) Теперь сравним найденные нормальные векторы для обеих плоскостей:

Нормальный вектор плоскости, проходящей через точки E, N и S: \((-1, 0, 1)\)
Нормальный вектор плоскости, проходящей через точки A и B: \((y_Az_B - y_Bz_A, z_Ax_B - z_Bx_A, x_Ay_B - x_By_A)\)

Если оба нормальных вектора равны, то плоскости параллельны. Давайте сравним их:

\(-1 = y_Az_B - y_Bz_A\)
\(0 = z_Ax_B - z_Bx_A\)
\(1 = x_Ay_B - x_By_A\)

Таким образом, если эти уравнения выполняются, то плоскость, проходящая через точки E, N и S, параллельна плоскости, проходящей через точки A и B.

Теперь, чтобы завершить доказательство, вам нужно взять точки E, N, S, A и B, и подставить их координаты в полученные уравнения, чтобы убедиться, что они выполняются. Если все уравнения верны, то мы можем сделать вывод, что плоскости параллельны.

Если у вас есть конкретные числовые значения для координат точек E, N, S, A и B, пожалуйста, предоставьте их, и я помогу вам продолжить доказательство.