Определите значение косинуса острого угла между линиями ac и bd, если известны координаты точек a(-1; 0), b(5

Сверкающий_Джинн

19

Для определения значения косинуса острого угла между линиями ac и bd, нам понадобится знание и использование понятия скалярного произведения векторов.

Вспомним основное определение косинуса острого угла между двумя векторами. Пусть вектора \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) имеют координаты \(u_1\), \(u_2\) и \(v_1\), \(v_2\) соответственно. Тогда значение косинуса острого угла \(\theta\) между векторами можно найти по формуле:

\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}}\]

где \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) представляет скалярное произведение векторов, а \(|\vec{u}|\) и \(|\vec{v}|\) представляют длины векторов.

Теперь применим данную формулу для заданных точек a(-1; 0), b(5; -2), c(2; 3) и d(3; -1).

1. Найдем вектор ac:
Для этого вычислим \(\vec{ac}\) вычитая из координат точки c координаты точки a:
\(\vec{ac} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ 3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\)

2. Найдем вектор bd:
Аналогично вычисляем \(\vec{bd}\), вычитая из координат точки d координаты точки b:
\(\vec{bd} = \begin{pmatrix} 3 - 5 \\ (-1) - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

3. Вычисляем скалярное произведение векторов ac и bd:
\(\vec{ac} \cdot \vec{bd} = (3 \cdot -2) + (3 \cdot 1) = -6 + 3 = -3\)

4. Найдем длины векторов ac и bd:
Длина вектора ac: \(|\vec{ac}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
Длина вектора bd: \(|\vec{bd}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)

5. Подставляем полученные значения в формулу для косинуса угла:
\(\cos(\theta) = \frac{-3}{(3\sqrt{2} \cdot \sqrt{5})}\)

6. Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\(\cos(\theta) = \frac{-3\sqrt{2}}{(3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{5}}\)

7. Сокращаем \(\sqrt{2}\) в числителе и знаменателе:
\(\cos(\theta) = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{5}}\)

8. Сокращаем 3 в числителе и знаменателе:
\(\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{5}}\)

Таким образом, значение косинуса острого угла между линиями ac и bd равно \(-\frac{1}{\sqrt{5}}\).