Нужно найти следующее, основываясь на разложении векторов a и b по векторам p и q: 1) длины диагоналей параллелограмма

Valentina

56

Чтобы найти необходимые значения, нам понадобится использовать различные свойства векторов и формулы для параллелограмма.

Для начала, разложим вектора \(a\) и \(b\) по векторам \(p\) и \(q\):

\[a = -2p - q\]
\[b = p - 3q\]

Теперь рассмотрим каждый пункт по отдельности:

1) Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах \(a\) и \(b\):
Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин его сторон.

Давайте найдем длины сторон параллелограмма, используя разложение векторов \(a\) и \(b\):
Стороны параллелограмма, соответствующие векторам \(a\) и \(b\), будут равны длинам самих векторов:

Сторона \(a\): \(|a| = |-2p - q|\)
Сторона \(b\): \(|b| = |p - 3q|\)

Давайте подставим значения \(p\) и \(q\):
Сторона \(a\): \(|-2p - q| = |-2(1) - (2)| = |-2 - 2| = |-4| = 4\)
Сторона \(b\): \(|p - 3q| = |(1) - 3(2)| = |1 - 6| = |-5| = 5\)

Теперь найдем длины диагоналей. Обозначим их \(d_1\) и \(d_2\):
\[d_1 = \sqrt{|a|^2 + |b|^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]
\[d_2 = \sqrt{|a|^2 + |b|^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]

2) Косинус угла между векторами \(a\) и \(b\):
Косинус угла между векторами можно найти, используя формулу скалярного произведения векторов:

\[\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\]

Заменим значения векторов \(a\) и \(b\) и вычислим:

\[\cos(\theta) = \frac{(-2p - q) \cdot (p - 3q)}{|-2p - q| \cdot |p - 3q|}\]

Применим свойства скалярного произведения:
\[\cos(\theta) = \frac{(-2p \cdot p) + (-2p \cdot (-3q)) + (-q \cdot p) + (-q \cdot (-3q))}{4 \cdot 5} = \frac{-2p \cdot p + 6p \cdot q - q \cdot p + 3q \cdot q}{20}\]

Заметим, что скалярное произведение \(p \cdot q\) равно \(|p| \cdot |q| \cdot \cos(\alpha)\), где \(|p|\) и \(|q|\) - длины векторов, а \(\alpha\) - угол между ними. Поэтому, если \(|p| = 1\) и \(|q| = 2\), а угол между ними равен \(\alpha\), то \(p \cdot q\) будет равно \(1 \cdot 2 \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(\alpha)\).

Заменим \(p \cdot p\) на \(|p|^2\) и \(q \cdot q\) на \(|q|^2\):
\[\cos(\theta) = \frac{-2|p|^2 + 6p \cdot q - q \cdot p + 3|q|^2}{20}\]

Теперь подставим значения \(|p|\) и \(|q|\):
\[\cos(\theta) = \frac{-2(1)^2 + 6p \cdot q - q \cdot p + 3(2)^2}{20}\]

Тогда получаем:
\[\cos(\theta) = \frac{-2 + 12p \cdot q - q \cdot p + 12}{20}\]

3) Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(a\) и \(b\):
Площадь параллелограмма можно найти, используя смешанное произведение векторов \(a\) и \(b\):

\[S = |a \times b|\]

Заменим значения векторов \(a\) и \(b\) и вычислим:

\[S = |-2p - q \times p - 3q|\]

Для вычисления смешанного произведения, мы можем использовать определитель матрицы, составленной из координат векторов \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c\) - это векторное произведение \(a\) и \(b\):

\[
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
-2 & -1 & 0 \\
1 & -3 & 0 \\
\end{vmatrix}
\]

Вычислим этот определитель:

\[S = |-2(0) - (-1)(0)| = |0| = 0\]

Итак, площадь параллелограмма, построенного на векторах \(a\) и \(b\), равна 0.

Таким образом, мы рассмотрели все пункты задачи и нашли следующие значения:
1) Длина диагоналей параллелограмма, построенного на векторах \(a\) и \(b\): \(d_1 = d_2 = \sqrt{41}\)
2) Косинус угла между векторами \(a\) и \(b\): \(\cos(\theta) = \frac{-2 + 12p \cdot q - q \cdot p + 12}{20}\)
3) Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(a\) и \(b\): \(S = 0\)

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти указанные значения! Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.