Окружность, вписанная в ромб KLMN и касающаяся стороны LK в точке P, также касается окружностей, вписанных

Molniya

67

Чтобы доказать данное утверждение, нам необходимо использовать некоторые свойства вписанных углов и касательных.

Пусть \(O_1\) - центр вписанной окружности треугольника KMQ, \(O_2\) - центр вписанной окружности треугольника NMR, и \(O\) - центр вписанной окружности ромба KLMN.

Так как окружность KMQ касается стороны LK в точке P, а \(O_1\) - центр этой окружности, то выполняется соотношение \(O_1P \perp LK\). Аналогично, так как окружность NMR касается стороны LK в точке P, а \(O_2\) - центр этой окружности, то выполняется соотношение \(O_2P \perp LK\).

Поскольку ромб KLMN является рассечением окружностей KMQ и NMR, то проведенные из центра ромба KLMN радиусы окружностей KMQ и NMR образуют прямые линии с точками касания окружностей и стороной LK. Обозначим эти точки как \(A\) и \(B\) соответственно.

Теперь рассмотрим треугольник \(O_1P O_2\). Радиусы окружности KMQ и NMR перпендикулярны стороне LK, а значит, эти радиусы являются высотами треугольника \(O_1P O_2\), проходящими через его вершины. Также, учитывая, что \(O_1P \perp LK\) и \(O_2P \perp LK\), получаем, что \(O_1P\) и \(O_2P\) являются высотами треугольника \(O_1P O_2\), проходящими через его вершины.

Таким образом, треугольник \(O_1P O_2\) является высотным, и его основаниями являются точки касания окружностей KMQ и NMR с стороной LK, то есть точки \(A\) и \(B\).

Теперь рассмотрим треугольник \(O_2 O_1 O\). Он образован соединением центров окружностей KMQ, NMR и ромба KLMN. Так как \(O_1P \perp LK\) и \(O_2P \perp LK\), а также \(O_1P\) и \(O_2P\) являются высотами треугольника \(O_1P O_2\), то по свойству перпендикуляров выполняется, что \(O_1P \parallel O_2O\).

Таким образом, получаем, что в треугольнике \(O_2 O_1 O\) две его стороны, \(O_1P\) и \(O_2O\), параллельны, а значит, треугольник \(O_2 O_1 O\) является прямоугольным.

Данное утверждение доказано. Okружность, вписанная в ромб KLMN и касающаяся стороны LK в точке P, также касается окружностей, вписанных в треугольники KMQ и NMR.