Определить диапазон вероятности, покрывающий математическое ожидание времени реакции, на основе полученных данных

Сердце_Океана

64

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу для нахождения доверительного интервала для математического ожидания. Доверительный интервал представляет собой диапазон значений, в котором с определенной вероятностью находится неизвестное значение.

Формула для доверительного интервала в данном случае имеет вид:

\[ДИ = (\overline{X} - z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}})\]

Где:
- \(\overline{X}\) - среднее значение выборки
- \(z\) - значение стандартного нормального распределения для выбранной вероятности
- \(\sigma\) - стандартное отклонение генеральной совокупности
- \(n\) - размер выборки

Для нахождения доверительного интервала с заданным уровнем доверия обычно используют значения \(z\), соответствующие стандартному нормальному распределению.

В данной задаче нам не даны значения \(n\) и \(\sigma\), поэтому мы будем считать, что эти значения неизвестны. В таком случае мы можем использовать t-распределение Стьюдента для нахождения доверительного интервала.

Теперь решим задачу пошагово:

1. Найдем среднее значение выборки (\(\overline{X}\)):
\[\overline{X} = \frac{0,16 + 0,18 + 0,20}{3} = 0,18\]

2. Найдем стандартное отклонение генеральной совокупности (\(\sigma\)):
Поскольку у нас нет полной генеральной совокупности, мы не можем найти точное значение для \(\sigma\). Вместо этого мы можем оценить его по выборке. Для этого мы можем использовать исправленное стандартное отклонение, которое определяется следующей формулой:
\[s = \sqrt{\frac{\sum{(X_i - \overline{X})^2}}{n-1}}\]
Где \(s\) - исправленное стандартное отклонение, \(X_i\) - значения выборки, \(\overline{X}\) - среднее значение выборки, \(n\) - размер выборки.

Подставим значения из задачи:
\[s = \sqrt{\frac{(0,16 - 0,18)^2 + (0,18 - 0,18)^2 + (0,20 - 0,18)^2}{3-1}} = \sqrt{\frac{0,0004 + 0 + 0,0004}{2}} = \sqrt{\frac{0,0008}{2}} \approx \sqrt{0,0004} \approx 0,02\]

3. Найдем значение \(z\) для выбранной вероятности. В этой задаче нам не указана выбранная вероятность, поэтому давайте выберем уровень доверия 95%, что соответствует значению \(z \approx 1,96\) для t-распределения в случае выборки из трех элементов.

4. Теперь мы можем рассчитать доверительный интервал:
\[ДИ = (0,18 - 1,96 \cdot \frac{0,02}{\sqrt{3}}, 0,18 + 1,96 \cdot \frac{0,02}{\sqrt{3}})\]

Вычислим числитель и знаменатель внутри формулы:
\[1,96 \cdot \frac{0,02}{\sqrt{3}} \approx \frac{0,0392}{\sqrt{3}} \approx \frac{0,0392}{1,732} \approx 0,0226\]

То есть, в итоге получаем:
\[ДИ = (0,18 - 0,0226, 0,18 + 0,0226) = (0,1574, 0,2026)\]

Таким образом, ширина полуинтервала доверия для заданного уровня доверия и этих данных составляет примерно 0,0452 или 4,52%. Это означает, что мы можем быть уверены на 95% в том, что математическое ожидание времени реакции находится в диапазоне от 0,1574 до 0,2026. Как школьник, ты можешь использовать этот диапазон для анализа результатов и сделать выводы о том, насколько точно можно предсказывать время реакции.