Определить координаты центра и радиус круга, который описывает треугольник с вершинами А(4:8), Б(-3:2) и С(1:-6

Вероника

18

Для определения координат центра и радиуса описанного круга, необходимо следовать следующим шагам:

1. Найдите середины сторон треугольника:

Середина стороны АБ можно найти, взяв среднюю точку по формулам:
\[x_{AB} = \frac{{x_A + x_B}}{2}\]
\[y_{AB} = \frac{{y_A + y_B}}{2}\]

Подставим координаты точек А(4,8) и Б(-3,2) и вычислим:
\[x_{AB} = \frac{{4 + (-3)}}{2} = \frac{1}{2}\]
\[y_{AB} = \frac{{8 + 2}}{2} = 5\]

Аналогично, найдем середины сторон АС и СБ:
\[x_{AC} = \frac{{x_A + x_C}}{2}\]
\[y_{AC} = \frac{{y_A + y_C}}{2}\]
\[x_{BC} = \frac{{x_B + x_C}}{2}\]
\[y_{BC} = \frac{{y_B + y_C}}{2}\]

Вставим значения координат точек А(4,8), С(1,-6) и Б(-3,2) в формулы и вычислим:
\[x_{AC} = \frac{{4 + 1}}{2} = \frac{5}{2}\]
\[y_{AC} = \frac{{8 + (-6)}}{2} = 1\]
\[x_{BC} = \frac{{-3 + 1}}{2} = -1\]
\[y_{BC} = \frac{{2 + (-6)}}{2} = -2\]

2. Найдите уравнения прямых, содержащих стороны треугольника:

Для нахождения уравнений прямых, проходящих через середины сторон, воспользуемся формулой для уравнения прямой, проходящей через две точки:
\[y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\]

Подставим значения координат середины стороны АБ и точек А и Б в уравнение прямой AB:
\[y - 5 = \frac{{2 - 8}}{{-3 - 4}}(x - \frac{1}{2})\]
\[y - 5 = \frac{{-6}}{{-7}}(x - \frac{1}{2})\]
\[y - 5 = \frac{{6}}{{7}}(x - \frac{1}{2})\]
\[y - 5 = \frac{{6x - 3}}{{7}}\]
\[7y - 35 = 6x - 3\]
\[7y = 6x + 32\]
\[y = \frac{{6}}{{7}}x + \frac{{32}}{{7}}\]

Аналогично, найдем уравнения прямых AC и BC:
\[y = -14x + \frac{29}{2}\]
\[y = -4x - 2\]

3. Найдите точку пересечения прямых:

Точка пересечения прямых - это центр описанного круга. Для его определения решим систему уравнений прямых.

Следует решить систему уравнений для любых двух прямых из трёх. Возьмем прямые AB и AC:

\[\begin{cases} y = \frac{{6}}{{7}}x + \frac{{32}}{{7}} \\ y = -14x + \frac{{29}}{{2}} \end{cases}\]

Решив данную систему уравнений, найдём координаты точки пересечения (центра окружности):
\[\frac{{6}}{{7}}x + \frac{{32}}{{7}} = -14x + \frac{{29}}{{2}}\]
\[\frac{{6}}{{7}}x + 14x = \frac{{29}}{{2}} - \frac{{32}}{{7}}\]
\[\frac{{20}}{{7}}x = \frac{{359 - 64}}{{14}}\]
\[\frac{{20}}{{7}}x = \frac{{295}}{{14}}\]
\[x = \frac{{1475}}{{392}} = \frac{{295}}{{78}}\]

Подставим полученное значение x в уравнение прямой AB:
\[y = \frac{{6}}{{7}} \cdot \frac{{295}}{{78}} + \frac{{32}}{{7}}\]
\[y = \frac{{885}}{{546}}\]

Таким образом, координаты центра окружности составляют \(\left(\frac{{295}}{{78}}, \frac{{885}}{{546}}\right)\).

4. Найдите радиус окружности:

Для определения радиуса окружности, расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника может быть использовано. Мы можем использовать расстояние от центра до вершины А.

Расстояние между двумя точками можно найти по формуле:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Подставим координаты центра \(\left(\frac{{295}}{{78}}, \frac{{885}}{{546}}\right)\) и координаты вершины А(4,8) в формулу и найдем радиус:
\[r = \sqrt{(\frac{{295}}{{78}} - 4)^2 + (\frac{{885}}{{546}} - 8)^2}\]

Подсчитав данный выражение получаем:
\[r \approx 6.706\]

Таким образом, радиус окружности составляет около 6.706.

Таким образом, координаты центра круга, описывающего треугольник с вершинами А(4:8), Б(-3:2) и С(1:-6), равны \(\left(\frac{{295}}{{78}}, \frac{{885}}{{546}}\right)\), а радиус окружности составляет около 6.706.