Определить наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3+3x^2-36x на интервале [-4,4

Солнечный_День

22

Для решения данной задачи нам необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x на интервале [-4, 4].

Шаг 1: Найдем значения функции на границах интервала.
Подставим x = -4 и x = 4 в функцию f(x):

f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4)
= 2(-64) + 3(16) + 144
= -128 + 48 + 144
= 64

f(4) = 2(4)^3 + 3(4)^2 - 36(4)
= 2(64) + 3(16) - 144
= 128 + 48 - 144
= 32

Таким образом, мы получили значения функции на границах интервала: f(-4) = 64 и f(4) = 32.

Шаг 2: Найдем точки, в которых происходит изменение знака функции.
Для этого найдем производную функции f"(x) и найдем ее нули на интервале [-4, 4]:

f"(x) = 6x^2 + 6x - 36

Найдем корни уравнения f"(x) = 0:

6x^2 + 6x - 36 = 0

Для удобства, можем разделить уравнение на 6 и упростить:

x^2 + x - 6 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя факторизацию или квадратное уравнение.

Факторизуем:

(x + 3)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = -3 и x = 2.

Шаг 3: Найдем значения функции в полученных точках.
Подставим x = -3 и x = 2 в функцию f(x):

f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3)
= 2(-27) + 3(9) + 108
= -54 + 27 + 108
= 81

f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2)
= 2(8) + 3(4) - 72
= 16 + 12 - 72
= -44

Итак, мы получили значения функции f(x) в точках x = -3 и x = 2: f(-3) = 81 и f(2) = -44.

Шаг 4: Сравним все полученные значения и определим наибольшее и наименьшее значение функции на интервале [-4, 4].

Наименьшее значение функции f(x) на интервале [-4, 4] равно -44, и оно достигается в точке x = 2.
Наибольшее значение функции f(x) на интервале [-4, 4] равно 81, и оно достигается в точке x = -3.

Итак, наименьшее значение функции f(x) равно -44 и достигается в точке x = 2, а наибольшее значение равно 81 и достигается в точке x = -3.