Определите коэффициент теплопроводности и среднюю температуру трансформаторного масла в приборе для определения методом
Определите коэффициент теплопроводности и среднюю температуру трансформаторного масла в приборе для определения методом "нагретой нити", где в кольцевом зазоре между платиновой нитью и кварцевой трубкой находится испытуемое масло. Известны следующие значения: диаметр и длина платиновой нити - d1 = 0.12 мм и l = 90 мм; внутренний и наружный диаметры кварцевой трубки - d2 = 1 мм и d3 = 3 мм; коэффициент теплопроводности кварца - λ = 1.4 Вт/(м × ℃). При известном тепловом потоке через кольцевой слой масла - q = 1.8 Вт, температура платиновой нити - tс1 = 106.9 ℃ и температура внешнего слоя масла - tс3 = 37 ℃, вычислите коэффициент теплопроводности масла - λж и среднюю температуру масла - tж.
Yangol 54
Для решения данной задачи определим необходимые величины и воспользуемся законом Фурье о теплопроводности.Сначала найдем площадь сечения кольцевого слоя масла. Для этого найдем радиусы внутреннего и внешнего слоев масла:
\( R_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{1 \, \text{мм}}{2} = 0.5 \, \text{мм} = 0.0005 \, \text{м} \)
\( R_3 = \frac{d_3}{2} = \frac{3 \, \text{мм}}{2} = 1.5 \, \text{мм} = 0.0015 \, \text{м} \)
Теперь можем найти площадь сечения:
\( S = \pi(R_3^2 - R_2^2) = \pi(0.0015^2 - 0.0005^2) = 0.0014 \pi \, \text{м}^2 \)
Затем найдем разность температур между внешним и внутренним слоями масла:
\( \Delta T = t_{c3} - t_{c2} \)
Температура наружного слоя масла \( t_{c3} \) нам неизвестна, поэтому будем рассматривать эту величину как переменную, и именно ее мы и хотим найти. Температуру внутреннего слоя масла \( t_{c2} \) можно выразить через температуру нити:
\( t_{c2} = t_{c1} - \frac{q}{2\pi\lambda} \ln{\frac{R_3}{R_2}} \)
Теперь мы можем выразить разность температур через переменную \( t_{c3} \):
\( \Delta T = t_{c3} - (t_{c1} - \frac{q}{2\pi\lambda} \ln{\frac{R_3}{R_2}}) \)
Подставим значение теплового потока через кольцевой слой масла \( q = 1.8 \, \text{Вт} \), значение коэффициента теплопроводности кварца \( \lambda = 1.4 \, \text{Вт/(м × ℃)} \), значения радиусов \( R_2 \) и \( R_3 \):
\( \Delta T = t_{c3} - (t_{c1} - \frac{1.8}{2\pi\cdot1.4} \ln{\frac{0.0015}{0.0005}}) \)
Разность температур \( \Delta T \) можно также выразить через среднюю температуру масла \( \overline{t_m} \):
\( \Delta T = \overline{t_m} - t_{c1} \)
Сравнивая полученные выражения для разности температур, можно составить уравнение:
\( \overline{t_m} - t_{c1} = t_{c3} - (t_{c1} - \frac{1.8}{2\pi\cdot1.4} \ln{\frac{0.0015}{0.0005}}) \)
Раскроем скобки и перенесем все неизвестные в одну часть уравнения:
\( t_{c3} = \overline{t_m} + \frac{1.8}{2\pi\cdot1.4} \ln{\frac{0.0015}{0.0005}} \)
Мы получили выражение для температуры наружного слоя масла \( t_{c3} \) в зависимости от средней температуры масла \( \overline{t_m} \).
Теперь можем найти коэффициент теплопроводности \( \lambda_m \) масла по формуле:
\( \lambda_m = \frac{q}{2\pi\cdot l \cdot S \cdot \Delta T} \)
Подставляем известные значения:
\( \lambda_m = \frac{1.8}{2\pi\cdot 90 \cdot 0.0014\pi \cdot (\overline{t_m} - t_{c1})} \)
Окончательно, коэффициент теплопроводности \( \lambda_m \) масла и средняя температура масла \( \overline{t_m} \) определяются по следующим формулам:
\(\lambda_m = \frac{1.8}{2\pi\cdot 90 \cdot 0.0014\pi \cdot (\overline{t_m} - t_{c1})}\)
\( t_{c3} = \overline{t_m} + \frac{1.8}{2\pi\cdot1.4} \ln{\frac{0.0015}{0.0005}} \)