Какова работа внешних сил при переводе идеального газа из состояния 1 в состояние 3, исходя из графика зависимости

Тигрёнок

70

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться графиком зависимости давления газа от объема. Известно, что давление газа в состоянии 1 равно 10 килопаскалям, а объем газа равен 2 литрам.

Перед тем как продолжить, давайте определимся с тем, что такое работа идеального газа. Работа газа определяется как произведение перепада объема на давление газа. В данном случае, наши два состояния - это состояние 1 и состояние 3.

По графику видно, что перевод газа происходит от состояния 1 к состоянию 3. Объем газа увеличивается, а давление уменьшается. Это намекает нам, что внешние силы должны совершить работу, чтобы перевести газ из состояния 1 в состояние 3.

Мы можем вычислить работу, используя формулу:

\[Работа = \int_{V_1}^{V_3} P dV\]

где \(V_1\) и \(V_3\) - объемы газа в состояниях 1 и 3 соответственно, а \(P\) - давление газа.

Для решения задачи, нам нужно знать как изменяется давление газа с изменением объема. Предположим, что зависимость давления газа от объема является линейной. Тогда мы можем построить прямую линию, проходящую через две заданные точки (10 килопаскалей и 2 литра) и получить уравнение этой линии. Оно будет представлять зависимость давления от объема.

Пусть уравнение прямой будет иметь вид:

\[P = kV + b\]

где \(k\) - коэффициент наклона линии, а \(b\) - свободный коэффициент (смещение линии). Нам нужно найти эти значения.

Известно, что в точке (2, 10), объем равен 2 литрам, а давление равно 10 килопаскалям. Подставим эти значения в уравнение позже, чтобы найти коэффициенты.

Теперь продолжим с вычислением работу:

\[Работа = \int_{V_1}^{V_3} (kV + b) dV\]

где \(V_1\) и \(V_3\) - начальный и конечный объемы газа соответственно.

Чтобы решить этот интеграл, мы интегрируем линейную функцию \(kV + b\) по переменной \(V\) от \(V_1\) до \(V_3\). Результатом будет:

\[Работа = \frac{1}{2}k(V_3^2 - V_1^2) + b(V_3 - V_1)\]

Теперь давайте найдем значения \(k\) и \(b\), подставив известные значения давления и объема в уравнение линии:

\[10 = k \cdot 2 + b\]

Итак, мы получаем одно уравнение с двумя неизвестными. Но для решения задачи нам достаточно только соотношений между давлением и объемом. Поэтому мы можем упростить задачу и положить, что свободный член \(b\) равен 0. Получается следующее уравнение:

\[10 = k \cdot 2\]

Поделим обе части на 2, чтобы найти значение коэффициента наклона:

\[k = \frac{10}{2} = 5\]

Мы нашли значение коэффициента наклона \(k\), а также положили, что \(b = 0\), поэтому уравнение линии будет выглядеть так:

\[P = 5V\]

Теперь мы можем продолжить с вычислением работы, подставив это уравнение и значения объемов:

\[Работа = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (V_3^2 - V_1^2) + 0 \cdot (V_3 - V_1)\]

\[Работа = \frac{5}{2} \cdot (V_3^2 - V_1^2)\]

К сожалению, нам неизвестны конечные и начальные объемы газа (\(V_1\) и \(V_3\)), поэтому мы не можем привести конкретный числовой ответ. Однако мы можем упростить формулу, чтобы она выглядела более компактно:

\[Работа = \frac{5}{2} \cdot (V_3^2 - V_1^2) = \frac{5}{2} \cdot (V_3 + V_1)(V_3 - V_1)\]

Таким образом, работа внешних сил при переводе идеального газа из состояния 1 в состояние 3 будет равна \(\frac{5}{2} \cdot (V_3 + V_1)(V_3 - V_1)\). Необходимо знать начальный \(V_1\) и конечный \(V_3\) объемы газа для получения конкретного числового значения работы.