Определите количество корней уравнения x3+3x2−144x−a=0 при разных значениях параметра a. Ответ (нуждающиеся

Звезда

47

Для решения данной задачи, нам необходимо проанализировать график функции $f(x)=x^3+3x^2-144x-a$.

Давайте по шагам разберем каждый случай:

1. Если уравнение имеет один корень, то график функции $f(x)$ будет касаться оси OX. Это происходит, когда у функции существует двукратный корень.

2. Если уравнение имеет два корня, то график функции $f(x)$ будет пересекать ось OX дважды. Это происходит, когда два из корней являются простыми, а третий - двукратный.

3. Если уравнение имеет три корня, то график функции $f(x)$ будет пересекать ось OX трижды. Этот случай возникает, когда у функции существуют три различных корня.

Теперь давайте анализировать каждый из параметров:

1. Первый случай: $a<0$

Если $a<0$, то мы знаем, что график функции будет уходить в минус бесконечность налево и в плюс бесконечность направо. Также наша функция монотонно возрастает всегда. Это значит, что функция не будет иметь точек касания или пересечения с осью OX. Значит, уравнение будет иметь ноль корней.

2. Второй случай: $a=0$

Если $a=0$, то наша функция примет вид $f(x)=x^3+3x^2-144x$. Мы должны найти корни этого уравнения. Переберем значения $x$ и найдем корни:

$$f(x)=x(x^2+3x-144)$$

$$x(x+16)(x-9)=0$$

Таким образом, уравнение имеет три корня: $x=0$, $x=-16$, $x=9$.

3. Третий случай: $a>0$

Если $a>0$, то наша функция также будет иметь возрастающий график, но она будет уходить в плюс бесконечность налево и направо. Сначала она будет пересекать ось OX, затем касаться ее и снова пересекать.

Следовательно, уравнение будет иметь два корня: первый корень будет наименьшим значением $x$, где функция пересекает ось OX, и второй корень будет наибольшим значением $x$, где функция снова пересекает ось OX.

На самом деле, значения корней зависят от значения параметра $a$. Укажите диапазоны значений параметра $a$, для которых функция имеет один, два или три корня, и найдите точные значения корней для каждого диапазона. В уравнении $a\in (;)\cup (;)$ необходимо указать соответствующие интервалы значений $a$, чтобы закончить решение.

Например, если a < -16, то уравнение будет иметь один корень. Если -16 < a < 9, то уравнение будет иметь два корня. И если a > 9, то уравнение будет иметь три корня. Необходимо точно определить значения и интервалы значений параметра $a$, чтобы закончить решение задачи.