Определите количество корней уравнения x3+3x2−144x−a=0 при разных значениях параметра a. Ответ (нуждающиеся

Звезда

47

Для решения данной задачи, нам необходимо проанализировать график функции \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 144x - a \).

Давайте по шагам разберем каждый случай:

1. Если уравнение имеет один корень, то график функции \( f(x) \) будет касаться оси OX. Это происходит, когда у функции существует двукратный корень.

2. Если уравнение имеет два корня, то график функции \( f(x) \) будет пересекать ось OX дважды. Это происходит, когда два из корней являются простыми, а третий - двукратный.

3. Если уравнение имеет три корня, то график функции \( f(x) \) будет пересекать ось OX трижды. Этот случай возникает, когда у функции существуют три различных корня.

Теперь давайте анализировать каждый из параметров:

1. Первый случай: \( a < 0 \)

Если \( a < 0 \), то мы знаем, что график функции будет уходить в минус бесконечность налево и в плюс бесконечность направо. Также наша функция монотонно возрастает всегда. Это значит, что функция не будет иметь точек касания или пересечения с осью OX. Значит, уравнение будет иметь ноль корней.

2. Второй случай: \( a = 0 \)

Если \( a = 0 \), то наша функция примет вид \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 144x \). Мы должны найти корни этого уравнения. Переберем значения \( x \) и найдем корни:

\[ f(x) = x(x^2 + 3x - 144) \]

\[ x(x + 16)(x - 9) = 0 \]

Таким образом, уравнение имеет три корня: \( x = 0 \), \( x = -16 \), \( x = 9 \).

3. Третий случай: \( a > 0 \)

Если \( a > 0 \), то наша функция также будет иметь возрастающий график, но она будет уходить в плюс бесконечность налево и направо. Сначала она будет пересекать ось OX, затем касаться ее и снова пересекать.

Следовательно, уравнение будет иметь два корня: первый корень будет наименьшим значением \( x \), где функция пересекает ось OX, и второй корень будет наибольшим значением \( x \), где функция снова пересекает ось OX.

На самом деле, значения корней зависят от значения параметра \( a \). Укажите диапазоны значений параметра \( a \), для которых функция имеет один, два или три корня, и найдите точные значения корней для каждого диапазона. В уравнении \( a∈ ( ; )\cup ( ; ) \) необходимо указать соответствующие интервалы значений \( a \), чтобы закончить решение.

Например, если a < -16, то уравнение будет иметь один корень. Если -16 < a < 9, то уравнение будет иметь два корня. И если a > 9, то уравнение будет иметь три корня. Необходимо точно определить значения и интервалы значений параметра \( a \), чтобы закончить решение задачи.