Определите отношение ускорений a1/a2, приобретенных шариками во время их столкновения на гладкой поверхности. Радиус

Сладкая_Вишня

65

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

Во-первых, у нас есть отношение радиусов двух шариков. Пусть радиус первого шарика будет \(r_1\), а радиус второго шарика \(r_2\). Дано, что \(r_1 = 3 \cdot r_2\).

Затем, мы знаем, что при столкновении двух шариков на гладкой поверхности скорость их центра масс не изменяется. Таким образом, можно сказать, что импульс системы шариков до столкновения будет равен импульсу после столкновения.

Пусть массы первого и второго шариков будут обозначены как \(m_1\) и \(m_2\) соответственно. Тогда, используя связь между импульсом (\(p\)) и массой (\(m\)) с помощью формулы \(p = m \cdot v\), где \(v\) - скорость, можно записать:

\[m_1 \cdot v_1 = m_1" \cdot v_1" + m_2" \cdot v_2"\]

Здесь \(v_1\) и \(v_2\) - начальные скорости шариков перед столкновением, а \(v_1"\) и \(v_2"\) - их скорости после столкновения. Поскольку скорости центра масс шариков не изменяются, \(v_1 = v_1"\) и \(v_2 = v_2"\).

Теперь, для выражения скоростей через ускорения, мы можем использовать формулу связи между скоростью (\(v\)) и ускорением (\(a\)) с помощью \(v = u + a \cdot t\), где \(u\) - начальная скорость, \(t\) - время.

Пусть \(a_1\) и \(a_2\) - ускорения первого и второго шариков соответственно, \(u_1\) и \(u_2\) - их начальные скорости, \(t\) - время столкновения (которое мы предполагаем одинаковым для обоих шариков).

Тогда, можно записать:

\[v_1 = u_1 + a_1 \cdot t\]
\[v_2 = u_2 + a_2 \cdot t\]

Так как начальные скорости центра масс шариков не изменяются, \(u_1 = u_1"\) и \(u_2 = u_2"\).

Теперь, зная, что \(v_1 = v_1"\) и \(v_2 = v_2"\), мы можем записать:

\[m_1 \cdot (u_1 + a_1 \cdot t) = m_1" \cdot (u_1 + a_1 \cdot t) + m_2" \cdot (u_2 + a_2 \cdot t)\]

Учитывая, что \(m_1 = m_1"\) и \(m_2 = m_2"\), а также что \(u_1 = u_1"\) и \(u_2 = u_2"\), это уравнение примет вид:

\[m_1 \cdot a_1 \cdot t = m_2 \cdot a_2 \cdot t\]

Поскольку время столкновения напрямую сокращается, мы можем записать:

\[m_1 \cdot a_1 = m_2 \cdot a_2\]

Теперь подставим выражение для массы шариков через их радиусы. Масса шарика пропорциональна его объему, а объем пропорционален кубу радиуса. Таким образом, мы можем записать:

\[m_1 = k \cdot r_1^3\]
\[m_2 = k \cdot r_2^3\]

Где \(k\) - некоторая константа пропорциональности.

Теперь, используя соотношение между радиусами (\(r_1 = 3 \cdot r_2\)) и подставляя значения массы в уравнение, получаем:

\[k \cdot (3 \cdot r_2)^3 \cdot a_1 = k \cdot r_2^3 \cdot a_2\]

Здесь константа \(k\) сокращается, а \(r_2^3\) сокращается, что приводит к:

\[3^3 \cdot a_1 = a_2\]

Используя значительностьный шаг решения и округляя до сотых, получаем:

\[a_1/a_2 = 27/1\]

Таким образом, отношение ускорений \(a_1/a_2\) равно \(27/1\), что означает, что ускорение первого шарика в \(27\) раз больше ускорения второго шарика.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять задачу! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.