Определите время, за которое объект пройдет путь, равный 13 амплитуде, если период его колебаний равен 16 секундам

Ignat_6216

69

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для периода колебаний \(T\) в равномерном колебательном движении:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(T\) - период колебаний, \(\pi\) - математическая константа, \(m\) - масса объекта, \(k\) - коэффициент пропорциональности (жёсткость пружины).

В данном случае у нас не предоставлена информация о массе объекта \(m\), поэтому мы не можем найти его точное значение. Однако, нам дана информация о периоде колебаний \(T\) и амплитуде колебаний.

Амплитуда колебаний (обозначим её \(A\)) - это максимальное отклонение объекта от положения равновесия. В нашем случае амплитуда равна 13.

Мы можем использовать связь между амплитудой колебаний и коэффициентом пропорциональности (жёсткостью пружины) \(k\):

\[k = \frac{4\pi^2 m A^2}{T^2}\]

Мы знаем, что объект находился в положении равновесия в начальный момент времени, поэтому можно сказать, что начальное отклонение объекта от положения равновесия равно 0. Это означает, что объект находится в положении равновесия в момент времени \(t = 0\), когда \(x = 0\).

Общее уравнение колебательного движения объекта в зависимости от времени можно записать следующим образом:

\[x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\]

где \(x\) - координата объекта в момент времени \(t\), \(\omega\) - угловая частота колебаний (\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)), и \(\varphi\) - начальная фаза колебаний.

Мы можем установить, что в начальный момент времени координата объекта \(x\) равна 0, иначе говоря, \(x(0) = 0\).

\[0 = A \cos(\varphi)\]

Так как объект находился в положении равновесия, смещение от положения равновесия равно 0. Это означает, что начальная фаза колебаний (\(\varphi\)) равна 0 или \(2\pi\) (мы можем выбрать любой угол вида \(2\pi n\), где \(n\) - целое число, так как он не влияет на результат). В данном случае мы можем выбрать \(\varphi = 0\).

Используя данную информацию, мы можем записать уравнение колебательного движения:

\[x(t) = A \cos(\omega t)\]

Теперь, чтобы найти время, за которое объект пройдёт путь, равный амплитуде колебаний, мы должны решить уравнение:

\[A = A \cos(\omega t)\]

Решая это уравнение, мы получим:

\[\cos(\omega t) = 1\]

С помощью косинуса мы знаем, что \(\cos(\theta) = 1\), когда \(\theta = 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Таким образом, мы можем записать:

\[\omega t = 2\pi n\]

Для нашей задачи \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).

Подставим значения:

\[\frac{2\pi}{T} t = 2\pi n\]

Выразим \(t\):

\[t = nT\]

Теперь нам нужно найти значение \(n\), при котором время \(t\) будет таким, чтобы объект прошёл путь, равный амплитуде колебаний \(A\).

Для этого мы можем разделить амплитуду на скорость объекта в момент времени \(t\):

\[t = \frac{A}{v(t)}\]

Скорость \(v(t)\) объекта в момент времени \(t\) можно найти, продифференцировав уравнение колебательного движения:

\[v(t) = -A \omega \sin(\omega t)\]

\[v(t) = -A \frac{2\pi}{T} \sin(\frac{2\pi}{T} t)\]

Теперь мы можем найти значение \(t\):

\[t = \frac{A}{v(t)}\]

\[t = \frac{A}{-A \frac{2\pi}{T} \sin(\frac{2\pi}{T} t)}\]

\[t = \frac{T}{2\pi} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{T} t)}\]

Теперь мы можем подставить значения и решить уравнение:

\[t = \frac{16}{2\pi} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{16} t)}\]

\[t = \frac{8}{\pi} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{8} t)}\]

\[t = \frac{8}{\pi} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{8} t)}\]

Мы видим, что значение \(t\) будет зависеть от синуса угла. Зная, что максимальное значение синуса равно 1, мы можем определить максимальное значение времени \(t\) следующим образом:

\[\frac{\pi}{8} t = \frac{\pi}{2}\]

\[t = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\pi}{8}\]

\[t = \frac{1}{2}\]

Таким образом, время, за которое объект пройдёт путь, равный амплитуде колебаний, составляет 0.5 секунды. Округляя до сотых, ответ равен 0.50 секунд.