Определите значение коэффициента жесткости невесомой пружины, если известно, что при малых колебаниях груза

Лиска

14

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы, связанные с колебаниями и энергией.

1) Чтобы определить значение коэффициента жесткости невесомой пружины, воспользуемся формулой для кинетической энергии груза при колебаниях:

\[E_k = \frac{1}{2} k A^2,\]

где \(E_k\) - кинетическая энергия груза, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(A\) - амплитуда колебаний.

Подставляем известные значения: \(E_k = 0.5\) Дж, \(A = 0.04\) м.

\[0.5 = \frac{1}{2} k (0.04)^2.\]

Решаем уравнение относительно \(k\):

\[k = \frac{2 \cdot 0.5}{(0.04)^2}.\]

По расчетам, коэффициент жесткости пружины равен 1250 Н/м.

2) Для определения смещения маятника в момент, когда его кинетическая энергия равна потенциальной, воспользуемся формулой для потенциальной энергии пружинного маятника:

\[E_p = \frac{1}{2} k x^2,\]

где \(E_p\) - потенциальная энергия маятника, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - смещение маятника.

Так как кинетическая энергия равна потенциальной, то \(E_k = E_p\). Подставляем известные значения: \(E_k = 0.5\) Дж, \(k = 1250\) Н/м.

\[0.5 = \frac{1}{2} \cdot 1250 \cdot x^2.\]

Решаем уравнение относительно \(x\):

\[x = \sqrt{\frac{0.5}{1250 \cdot 0.5}}.\]

По расчетам, смещение маятника в момент, когда его кинетическая энергия равна потенциальной, составляет 0.02 м (или 2 см).

3) Для определения полной механической энергии колебаний маятника, воспользуемся формулой:

\[E_{\text{полн}} = E_k + E_p,\]

где \(E_{\text{полн}}\) - полная механическая энергия маятника, \(E_k\) - кинетическая энергия маятника, \(E_p\) - потенциальная энергия маятника.

Подставляем известные значения: \(E_k = 0.5\) Дж, \(E_p = \frac{1}{2} \cdot 1250 \cdot (0.15)^2\) (поскольку амплитуда колебаний составляет 15 см, то смещение \(x = 0.15\) м).

\[E_{\text{полн}} = 0.5 + \frac{1}{2} \cdot 1250 \cdot 0.15^2.\]

По расчетам, полная механическая энергия колебаний маятника составляет 8.28 Дж.

4) Для определения доли полной энергии математического маятника, составляющей потенциальную энергию, воспользуемся формулой:

\[\text{Доля потенциальной энергии} = \frac{E_p}{E_{\text{полн}}},\]

где \(E_p\) - потенциальная энергия маятника, \(E_{\text{полн}}\) - полная механическая энергия маятника.

Подставляем известные значения: \(E_p = \frac{1}{2} \cdot 1250 \cdot (0.15)^2\) и \(E_{\text{полн}} = 8.28\).

\[\text{Доля потенциальной энергии} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 1250 \cdot 0.15^2}{8.28}.\]

По расчетам, доля полной энергии математического маятника, составляющей потенциальную энергию, равна примерно 0.14 (или 14%).