Определите значения x, при которых корень из 3*cosx+2cos(x-5п/6)=cos2x принадлежит отрезку [-11pi/2 ; -4pi

Tainstvennyy_Mag

29

Для определения значений \(x\), при которых корень принадлежит заданному отрезку, мы выпишем уравнение и пошагово решим его.

Имеем уравнение:
\(\sqrt{3\cos x + 2\cos(x - \frac{5\pi}{6})} = \cos 2x\).

Давайте начнем с исходного уравнения и попробуем упростить выражения, чтобы найти значения \(x\).

1. Рассмотрим подкоренное выражение:
\(3\cos x + 2\cos(x - \frac{5\pi}{6})\).

2. Воспользуемся тригонометрическим тождеством для суммы косинусов:
\(\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\).

Применяя данное тождество к выражению:
\(2\cos(x - \frac{5\pi}{6}) = 2(\cos x \cos(\frac{5\pi}{6}) + \sin x \sin(\frac{5\pi}{6}))\).
Так как \(\cos(\frac{5\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}\), получаем:
\(2\cos(x - \frac{5\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x)\).

3. Подставим новое выражение в исходное уравнение:
\(\sqrt{3\cos x + 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x)} = \cos 2x\).

Упростим:
\(\sqrt{3\cos x + \sqrt{3}\cos x + \frac{1}{2}\sin x} = \cos 2x\).

4. Возведем обе части уравнения в квадрат для избавления от корня:
\(3\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x + \frac{1}{4}\sin^2 x = \cos^2 2x\).

5. Заменим \(\sin^2 x\) по формуле \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):
\(3\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x + \frac{1}{4}(1 - \cos^2 x) = \cos^2 2x\).

6. Упростим:
\(3\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\cos^2 x = \cos^2 2x\).

7. Сгруппируем похожие слагаемые:
\(\frac{11}{4}\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x + \frac{1}{4} = \cos^2 2x\).

8. Приведем уравнение к квадратному виду, используя тригонометрическую формулу \(2\cos^2 \theta - 1 = \cos 2\theta\):
\(\frac{11}{4}(\cos^2 x - (\frac{\sqrt{3}}{11})\cos x) + \frac{1}{4} = \frac{11}{4}(2\cos^2 2x - 1)\).

9. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\(\cos^2 x - \frac{\sqrt{3}}{11}\cos x + \frac{1}{11} + \frac{1}{4} = 2\cos^2 2x - \frac{11}{4}\).

10. Упростим:
\(\cos^2 x - \frac{\sqrt{3}}{11}\cos x + \frac{15}{44} = 2\cos^2 2x - \frac{11}{4}\).

11. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
\(\cos^2 x - \frac{\sqrt{3}}{11}\cos x + \frac{15}{44} - 2\cos^2 2x + \frac{11}{4} = 0\).

12. Объединим подобные слагаемые:
\(-\cos^2 x - 2\cos^2 2x - \frac{\sqrt{3}}{11}\cos x + \frac{11}{4} + \frac{15}{44} = 0\).

13. Упростим и умножим уравнение на -1:
\(\cos^2 x + 2\cos^2 2x + \frac{\sqrt{3}}{11}\cos x - \frac{11}{4} - \frac{15}{44} = 0\).

14. Приходим к окончательному уравнению:
\(\cos^2 x + 2\cos^2 2x + \frac{\sqrt{3}}{11}\cos x - \frac{133}{44} = 0\).

Чтобы найти значения \(x\) из данного уравнения, можно решить его численно (например, методом подстановки, графическим методом или с помощью калькулятора), или использовать компьютерную программу для аналитического решения такого уравнения. В виду сложности этого уравнения, я предлагаю воспользоваться численными методами для его решения.