Перефразируя, диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Возникает вопрос, являются ли вектор DO и вектор

Zmeya_7187

11

Чтобы определить, являются ли векторы \(\overrightarrow{DO}\) и \(\overrightarrow{BD}\) коллинеарными, нам нужно проанализировать их свойства. Коллинеарность означает, что два вектора лежат на одной прямой или параллельны друг другу.

Для начала, чтобы выяснить, с чем нам придется работать, давайте вспомним определение коллинеарности векторов. Векторы \(\overrightarrow{DO}\) и \(\overrightarrow{BD}\) будут коллинеарными, если существует такое число \(k\), что \(\overrightarrow{DO} = k \cdot \overrightarrow{BD}\).

Теперь рассмотрим параллелограмм ABCD. У нас есть диагонали, которые пересекаются в точке O. Так как ABCD - параллелограмм, то стороны AB и CD параллельны, а стороны AD и BC параллельны.

Посмотрим на треугольники AOB и COD. Они имеют общую высоту, так как лежат на одной прямой OD. Также заметим, что векторы \(\overrightarrow{DO}\) и \(\overrightarrow{BD}\) образуют противоположные стороны треугольника AOB. Отсюда следует, что если векторы \(\overrightarrow{DO}\) и \(\overrightarrow{BD}\) коллинеарны, то треугольники AOB и COD должны быть подобными.

Теперь обратимся к отношениям между сторонами параллелограмма. Поскольку AB || CD и AD || BC, пары сторон AB и CD, а также сторон AD и BC, должны быть пропорциональны. Это свойство следует из параллельности сторон.

Вернемся к треугольникам AOB и COD. Если эти треугольники подобны, то соответствующие стороны должны иметь одинаковые отношения. Таким образом, мы можем сказать, что

\[\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|OC|}{|OA|}\]

Теперь рассмотрим сторону AB. Она является стороной параллелограмма, поэтому она равна стороне CD. Таким образом, \(|AB| = |CD|\).

Также обратим внимание на соотношение между векторами и сторонами. Мы знаем, что для любого вектора \(\overrightarrow{V}\), его длина \(|\overrightarrow{V}|\) равна длине соответствующей стороны. Так что \(|\overrightarrow{AB}| = |AB|\) и \(|\overrightarrow{CD}| = |CD|\).

Подставляя эти значения в уравнение, мы получим:

\[\frac{|AD|}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{|OC|}{|\overrightarrow{OA}|}\]

Заменим также векторы на выражения с помощью точек из условия задачи:

\[\frac{|AD|}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{|OC|}{|\overrightarrow{OA}|}\]

С учетом того, что \(|AB| = |CD|\), исключим их из дробей:

\[\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|OC|}{|OA|}\]

Теперь мы можем записать соотношение векторов:

\[\frac{|\overrightarrow{DO}|}{|\overrightarrow{BD}|} = \frac{|OA|}{|OC|}\]

Из этого уравнения видно, что \(\overrightarrow{DO}\) и \(\overrightarrow{BD}\) будут коллинеарными, если

\[\frac{|\overrightarrow{DO}|}{|\overrightarrow{BD}|} = \frac{|OA|}{|OC|}\]

Таким образом, значение \(k\) равно

\[k = \frac{|OA|}{|OC|}\]

Это справедливо только в случае, если треугольники AOB и COD подобны, что должно быть проверено дополнительно.