Після пострілу з гармати зі швидкістю 500 м/с, яку відстань може проторгатися гармата без противідкатного пристрою?

Magnit

10

Для решения этой задачи воспользуемся законами механики.

Известны следующие данные: начальная скорость снаряда \(v_0 = 500 \, \text{м/с}\), коэффициент трения \(k = 0,4\), масса гарматы \(m_{\text{гарм}} = 1 \, \text{т} = 1000 \, \text{кг}\), и масса снаряда \(m_{\text{снар}}\).

При выстреле снаряд движется по горизонтальной траектории и описывается уравнением свободного падения:
\[x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2,\]
где \(x\) - пройденное расстояние, \(t\) - время полета снаряда, \(a\) - ускорение.

Учитывая, что сила трения пропорциональна величине нормальной силы (силы давления гарматы на поверхность земли), а нормальная сила равна произведению массы и ускорения свободного падения, получаем:
\[F_{\text{тр}} = k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g,\]
где \(g\) - ускорение свободного падения.

Сила трения действует в противоположном направлении движения снаряда:
\[F_{\text{тр}} = m_{\text{снар}} \cdot a.\]

Исключив ускорение \(a\) из двух последних уравнений, получаем:
\[m_{\text{снар}} \cdot a = k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g.\]

Подставляя значение ускорения свободного падения \(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\), получаем:
\[m_{\text{снар}} \cdot a = k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g,\]
\[a = \frac{k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g}{m_{\text{снар}}}.\]

Для определения времени полета подставим это значение ускорения \(a\) в уравнение свободного падения и приравняем \(x\) к нулю (так как нас интересует момент, когда снаряд остановится):
\[0 = v_0 t + \frac{1}{2} \left(\frac{k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g}{m_{\text{снар}}}\right) t^2,\]
\[\frac{1}{2} \left(\frac{k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g}{m_{\text{снар}}}\right) t^2 = v_0 t.\]

Решим это квадратное уравнение относительно \(t\):
\[\frac{1}{2} \left(\frac{k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g}{m_{\text{снар}}}\right) t^2 - v_0 t = 0,\]
\[\frac{1}{2} \left(\frac{k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g}{m_{\text{снар}}}\right) t(t - 2v_0) = 0,\]

Это уравнение имеет два корня: \(t = 0\) и \(t = \frac{2v_0}{\frac{k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g}{m_{\text{снар}}}}\).

Так как время не может быть отрицательным и равным нулю, оставляем только положительный корень:
\[t = \frac{2v_0}{\frac{k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g}{m_{\text{снар}}}}.\]

Теперь можем найти пройденное расстояние, подставив найденное значение времени обратно в уравнение свободного падения:
\[x = v_0 t + \frac{1}{2} \left(\frac{k \cdot m_{\text{гарм}} \cdot g}{m_{\text{снар}}}\right) t^2.\]

Таким образом, чтобы определить, на какое расстояние может проторгаться гармата без противодействия, необходимо знать массу снаряда \(m_{\text{снар}}\), которая не указана в задаче. Если вы укажете массу снаряда, я смогу точно рассчитать расстояние.