Please provide proof that the quadrilateral ABCD is a rectangle, given that A(-5,1), B(-1,-1), C(-2,-3), and D(-6,-1
Please provide proof that the quadrilateral ABCD is a rectangle, given that A(-5,1), B(-1,-1), C(-2,-3), and D(-6,-1).
Tigrenok 14
Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нам необходимо проверить два условия: параллельность противоположных сторон и перпендикулярность соседних сторон.Давайте начнем с проверки параллельности противоположных сторон.
Сторона AB задана точками A(-5,1) и B(-1,-1). Запишем уравнение прямой, проходящей через эти две точки в общем виде:
\[slope_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 1}{-1 - (-5)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]
Уравнение прямой AB: \[y = mx + c\], где m - угловой коэффициент, c - свободный член.
Подставим координаты одной из точек A(-5,1) в уравнение:
\[1 = m(-5) + c \Rightarrow -5m + c = 1\]
Теперь рассмотрим сторону CD, заданную точками C(-2,-3) и D(-6,-1). Аналогично запишем уравнение прямой CD:
\[slope_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - (-3)}{-6 - (-2)} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\]
Уравнение прямой CD: \[y = mx + c\]
Подставим координаты одной из точек C(-2,-3) в уравнение:
\[-3 = m(-2) + c \Rightarrow -2m + c = -3\]
Получили что значение \(m\) и \(c\) для сторон AB и CD одинаковые, а это значит, что стороны AB и CD параллельны.
Теперь проверим перпендикулярность соседних сторон BC и CD.
Воспользуемся уравнениями прямых BC и CD, найденными ранее, чтобы найти их угловые коэффициенты и проверить, являются ли они перпендикулярными.
Угловой коэффициент прямой BC:
\[m_{BC} = \frac{-3 - (-1)}{-2 - (-1)} = -2\]
Угловой коэффициент прямой CD:
\[m_{CD} = -\frac{1}{2}\]
Если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны следующим соотношением:
\[m_{BC} \cdot m_{CD} = -1\]
Подставим значения угловых коэффициентов:
\[-2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1\]
Получили, что \(m_{BC} \cdot m_{CD} = 1\), значит, прямые BC и CD являются перпендикулярными.
Итак, мы проверили, что противоположные стороны AB и CD параллельны, а соседние стороны BC и CD перпендикулярны. Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.