1) Найдите длину отрезка EF и определите координаты его середины, если точка E имеет координаты (-5; 2), а точка

Ledyanaya_Magiya

37

Начнем с решения задачи номер 1.

1) Чтобы найти длину отрезка EF, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости.

Формула расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) определена как:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

В нашем случае, координаты точки E равны \((-5, 2)\), а координаты точки F равны \((7, -6)\).

Теперь вставим значения в формулу:

\[d_{EF} = \sqrt{{(7 - (-5))^2 + ((-6) - 2)^2}}\]

Выполняя вычисления, получим:

\[d_{EF} = \sqrt{{(7 + 5)^2 + (-6 - 2)^2}} = \sqrt{{12^2 + (-8)^2}}\]

\[d_{EF} = \sqrt{{144 + 64}} = \sqrt{{208}}\]

Таким образом, длина отрезка EF равна \(\sqrt{{208}}\).

Чтобы найти координаты середины отрезка EF, мы можем использовать формулы для нахождения среднего значения двух чисел.

Формула среднего значения для координат \(x\) и \(y\) точек \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) определяется как:

\[x_{mid} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y_{mid} = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]

В нашем случае, мы можем использовать эту формулу для нахождения координат середины отрезка EF, соединяющего точки E \((-5, 2)\) и F \((7, -6)\).

Подставим значения в формулу:

\[x_{mid} = \frac{{(-5) + 7}}{2} = \frac{2}{2} = 1\]
\[y_{mid} = \frac{{2 + (-6)}}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Таким образом, координаты середины отрезка EF равны (1, -2).

Перейдем к решению задачи номер 2.

2) Для того чтобы записать уравнение окружности, нам понадобятся координаты центра окружности и одна из точек на окружности.

В нашем случае, координаты центра окружности равны C(5, -3), а точка N(2, -4) лежит на окружности.

Формула уравнения окружности с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(r\):

\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)

В нашем случае, мы должны заменить \(h\) и \(k\) на координаты центра окружности C(5, -3) и используя точку N(2, -4), найти радиус \((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = r^2\).

Выполнив подстановку, мы получаем:

\((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = r^2\)

\((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = (2 - 5)^2 + (-4 + 3)^2\)

\((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = (-3)^2 + (-1)^2\)

\((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 9 + 1\)

\((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 10\)

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке C(5, -3) и проходящей через точку N(2, -4) записывается как \((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 10\).

Продолжим с задачей номер 3.

3) Чтобы записать уравнение прямой, проходящей через две точки, мы можем использовать формулу для нахождения уравнения прямой.

Формула уравнения прямой, проходящей через точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), определена как:

\(\frac{{y - y_1}}{{x - x_1}} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\)

В нашем случае, точка D(-3, 9) и точка K(5, -7) лежат на прямой.

Подставим значения в формулу:

\(\frac{{y - 9}}{{x - (-3)}} = \frac{{(-7) - 9}}{{5 - (-3)}}\)

Упрощая выражение, получаем:

\(\frac{{y - 9}}{{x + 3}} = \frac{{-7 - 9}}{{5 + 3}}\)

\(\frac{{y - 9}}{{x + 3}} = \frac{{-16}}{{8}}\)

\(\frac{{y - 9}}{{x + 3}} = -2\)

Домножив обе стороны на \(x + 3\), получаем:

\(y - 9 = -2x - 6\)

Перенеся все члены в одну сторону, получим окончательное уравнение прямой:

\(y = -2x + 3\)

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки D(-3, 9) и K(5, -7), записывается как \(y = -2x + 3\).

Продолжим с последней задачей, номер 4.

4) Чтобы найти вершины параллелограмма K, мы можем использовать свойство параллелограмма, согласно которому противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны.

Так как EFPK - параллелограмм, то координаты вершины K будут равны сумме координат вершины E и P, а затем отнимаем координаты вершины F.

В нашем случае, E(3, -1), F(-3, 3) и P(x, y) - вершина K.

Таким образом, координаты вершины K можно найти следующим образом:

\(x_K = x_E + x_P - x_F\)
\(y_K = y_E + y_P - y_F\)

Подставив значения, мы получаем:

\(x_K = 3 + x - (-3)\)
\(y_K = -1 + y - 3\)

Упрощая выражения:

\(x_K = 3 + x + 3\)
\(y_K = -1 + y - 3\)

\(x_K = x + 6\)
\(y_K = y - 4\)

Таким образом, координаты вершины K параллелограмма EFPK будут (x + 6, y - 4).