по 1) Какое ускорение земля получает от солнца благодаря своему притяжению? Расстояние до солнца примерно в 24000

Sverkayuschiy_Dzhinn

33

земли равно 0,95. Найдите отношение ускорений свободного падения на этих планетах.

1) Для нахождения ускорения, которое Земля получает от своего притяжения к Солнцу, воспользуемся законом всемирного тяготения:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила притяжения между Землей и Солнцем, \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)), \(m_1\) - масса Земли (\(m_1 = m_{\text{Земли}}\)), \(m_2\) - масса Солнца (\(m_2 = m_{\text{Солнца}}\)), \(r\) - расстояние между центрами Земли и Солнца (\(r = 24000 \times \text{Радиус Земли}\)).

Используя округленные значения для массы Земли (\(m_{\text{Земли}} = 5,972 \times 10^{24}\, \text{кг}\)) и массы Солнца (\(m_{\text{Солнца}} = 1,989 \times 10^{30}\, \text{кг}\)), а также радиус Земли (\(Радиус Земли = 6400\, \text{км}\)), найдем ускорение, которое Земля получает от Солнца:

\[\begin{align*}
F &= G \cdot \frac{{m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{Солнца}}}}{{r^2}} \\
&= (6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2) \cdot \frac{{5,972 \times 10^{24}\, \text{кг} \cdot 1,989 \times 10^{30}\, \text{кг}}}{{(24000 \times 6400 \times 1000)^2\, \text{м}^2}} \\
&\approx 3,522 \times 10^{15}\, \text{Н}
\end{align*}\]

Теперь, чтобы найти ускорение, используем известное отношение между силой и ускорением:

\[F = m \cdot a\]

где \(m\) - масса тела, \(a\) - ускорение. Поскольку \(F\) и \(m\) - масса Земли, то:

\[m_{\text{Земли}} \cdot a = 3,522 \times 10^{15}\, \text{Н}\]

Разделим обе части уравнения на \(m_{\text{Земли}}\):

\[a = \frac{{3,522 \times 10^{15}\, \text{Н}}}{{5,972 \times 10^{24}\, \text{кг}}}\]

Давайте найдем ответ в мм/с², округлив до целых чисел:

\[\begin{align*}
a &= \frac{{3,522 \times 10^{15}\, \text{Н}}}{{5,972 \times 10^{24}\, \text{кг}}} \\
&= \frac{{3,522}}{{5,972}} \times 10^{15-24}\, \text{м/с²} \\
&= 0,5892 \times 10^{-9}\, \text{м/с²} \\
&= 589,2 \times 10^{-12}\, \text{мм/с²} \\
&\approx 589\, \text{мм/с²}
\end{align*}\]

Ответ: ускорение, которое Земля получает от Солнца благодаря своему притяжению, равно около 589 мм/с².

2) Для нахождения ускорения Луны, движущейся по окружности вокруг Земли, воспользуемся формулой для центростремительного ускорения:

\[a = \frac{{v^2}}{{r}}\]

где \(a\) - ускорение, \(v\) - скорость Луны и \(r\) - расстояние между центрами Земли и Луны (\(r = 400000 \, \text{км} + Радиус Земли\)).

Мы знаем, что скорость Луны \(v\) связана с периодом её обращения вокруг Земли \(T\) следующим образом:

\[v = \frac{{2 \pi r}}{{T}}\]

где \(\pi\) - математическая константа (приблизительно 3,14159). Период обращения Луны вокруг Земли составляет приблизительно 27,322 дней, что составляет \(T = 27,322 \times 24 \times 3600\, \text{секунд}\).

Подставим выражение для \(v\) в формулу для \(a\):

\[\begin{align*}
a &= \frac{{v^2}}{{r}} \\
&= \frac{{(2 \pi r / T)^2}}{{r}} \\
&= \frac{{(2 \pi r)^2}}{{r \cdot T^2}} \\
&= \frac{{4 \pi^2 r}}{{T^2}}
\end{align*}\]

Подставим значения \(r\) и \(T\) и рассчитаем ускорение Луны:

\[\begin{align*}
a &= \frac{{4 \pi^2 \cdot (400000 \times 1000 + Радиус Земли)}}{{(27,322 \times 24 \times 3600)^2}} \\
&\approx 0,000003 \, \text{м/с²}
\end{align*}\]

Ответ: ускорение Луны при движении по окружности вокруг Земли составляет около \(0,000003 \, \text{м/с²}\).

3) Для нахождения отношения ускорений свободного падения на Венере и Земле, воспользуемся формулой для ускорения свободного падения:

\[a = \frac{{GM}}{{r^2}}\]

где \(a\) - ускорение свободного падения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты и \(r\) - радиус планеты.

По условию задачи, отношение массы Венеры к массе Земли равно 0,82 (\(M_{\text{Венеры}} = 0,82 \cdot M_{\text{Земли}}\)), а отношение средних радиусов Венеры к Земле равно 0,95 (\(r_{\text{Венеры}} = 0,95 \cdot r_{\text{Земли}}\)).

Подставим эти значения в формулу ускорения свободного падения для каждой планеты, чтобы найти отношение ускорений:

\[\begin{align*}
\frac{{a_{\text{Венеры}}}}{{a_{\text{Земли}}}} &= \frac{{\frac{{GM_{\text{Венеры}}}}{{r_{\text{Венеры}}^2}}}}{{\frac{{GM_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{Земли}}^2}}}} \\
&= \frac{{\frac{{G \cdot (0,82 \cdot M_{\text{Земли}})}}{{(0,95 \cdot r_{\text{Земли}})^2}}}}{{\frac{{G \cdot M_{\text{Земли}}}}{{r_{\text{Земли}}^2}}}} \\
&= \frac{{0,82 \cdot r_{\text{Земли}}^2}}{{(0,95 \cdot r_{\text{Земли}})^2}} \\
&= \frac{{0,82}}{{0,95}^2} \\
&\approx 0,924
\end{align*}\]

Ответ: отношение ускорения свободного падения на Венере к ускорению свободного падения на Земле составляет около 0,924.