Почему в таблице истинности для операции отрицания имеется две строки, в то время как в таблицах для других изученных

Luna

38

Таблицы истинности используются для анализа логических операций. В таблице истинности отражается, какие значения принимает логическое выражение при различных комбинациях значений своих переменных. Давайте рассмотрим операцию отрицания (НЕ или NOT).

Операция отрицания работает только с одной переменной. Она инвертирует или меняет значение этой переменной на противоположное. Для простоты представим, что у нас есть только одна переменная \(A\), которая может принимать два значения: истина (1) или ложь (0). В таблице истинности для отрицания будет только одна переменная \(A\) и результат операции отрицания для каждого из возможных значений этой переменной:

\[
\begin{{array}}{{|c|c|}}
\hline
A & \neg A \\
\hline
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\hline
\end{{array}}
\]

Как вы можете видеть, в таблице истинности для отрицания, так как у нас только одна переменная, всего две строки. Первая строка соответствует случаю, когда переменная \(A\) равна 0, а вторая строка - случаю, когда переменная \(A\) равна 1.

Теперь давайте рассмотрим таблицу истинности для логической операции, которая зависит от двух переменных, такую как логическое И (AND), логическое ИЛИ (OR) или логическое ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (XOR). В таких таблицах истинности уже рассматриваются все возможные комбинации значений этих двух переменных (каждая с каждой):

\[
\begin{{array}}{{|c|c|c|}}
\hline
A & B & A \text{{ и }} B \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{{array}}
\]

В таблице истинности для операции И (AND) у нас уже четыре строки, поскольку у нас две переменные, \(A\) и \(B\), каждая из которых может принимать два значения: 0 или 1.

Теперь рассмотрим таблицу истинности для выражения с тремя переменными. Для каждой переменной у нас есть два возможных значения (0 или 1), поэтому всего возможных комбинаций значений будет \(2^3 = 8\). Следовательно, в таблице истинности для выражения с тремя переменными будет восемь строк.

Аналогично, для выражения с четырьмя переменными всего возможных комбинаций будет \(2^4 = 16\), поэтому в таблице истинности будет шестнадцать строк.

А для выражения с пятью переменными всего возможных комбинаций будет \(2^5 = 32\), поэтому в таблице истинности будет тридцать две строки.

Надеюсь, это понятно. Если вам нужно больше объяснений или у вас есть еще вопросы, пожалуйста, сообщите.