Под какие значения b сумма b152+217 станет кратной 9? При каких значениях c сумма 35с4+802 будет кратной?

Leonid

52

Давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Задача: Под какие значения \(b\) сумма \(b^{152} + 217\) станет кратной 9?

Для того чтобы сумма стала кратной 9, необходимо, чтобы само число \(b^{152} + 217\) делилось на 9 без остатка.

Обратим внимание, что при делении любого числа на 9, остаток будет равен сумме цифр этого числа. Например, остаток от деления 27 на 9 будет равен 2+7=9, что также является кратным 9.

Поэтому, чтобы найти значения \(b\), при которых сумма \(b^{152} + 217\) кратна 9, нам нужно сравнить остаток от деления на 9 числа \(b^{152} + 217\) с 0.

Мы знаем, что 217 не делится на 9 без остатка, поэтому нам необходимо найти значения \(b\), при которых \(b^{152}\) будет иметь остаток -217 по модулю 9.

Нашей задачей является решить уравнение \(b^{152} \equiv -217 \pmod{9}\).

К счастью, в данном случае у нас всего 9 возможных остатков от деления на 9: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, и 8.

Мы можем проверить каждое из этих значений \(b\) и посмотреть, при каких оно удовлетворяет уравнению \(b^{152} \equiv -217 \pmod{9}\).

\[
\begin{align*}
0^{152} &\equiv 0 \pmod{9} \\
1^{152} &\equiv 1 \pmod{9} \\
2^{152} &\equiv 4 \pmod{9} \\
3^{152} &\equiv 0 \pmod{9} \\
4^{152} &\equiv 7 \pmod{9} \\
5^{152} &\equiv 7 \pmod{9} \\
6^{152} &\equiv 1 \pmod{9} \\
7^{152} &\equiv 4 \pmod{9} \\
8^{152} &\equiv 0 \pmod{9} \\
\end{align*}
\]

Итак, мы видим, что только при \(b = 2, 4, 7\), сумма \(b^{152} + 217\) будет кратной 9.

2. Задача: Под какие значения \(c\) сумма \(35c^4 + 802\) станет кратной 9?

Аналогично предыдущей задаче, для того чтобы сумма стала кратной 9, необходимо, чтобы само число \(35c^4 + 802\) делилось на 9 без остатка.

Перепишем уравнение в виде \(35c^4 \equiv -802 \pmod{9}\).

Опять же, мы должны рассмотреть все 9 возможных остатков от деления на 9: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, и 8 и проверить каждое из значений \(c\).

\[
\begin{align*}
0^4 &\equiv 0 \pmod{9} \\
1^4 &\equiv 1 \pmod{9} \\
2^4 &\equiv 7 \pmod{9} \\
3^4 &\equiv 0 \pmod{9} \\
4^4 &\equiv 4 \pmod{9} \\
5^4 &\equiv 7 \pmod{9} \\
6^4 &\equiv 0 \pmod{9} \\
7^4 &\equiv 4 \pmod{9} \\
8^4 &\equiv 1 \pmod{9} \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем приступить к решению уравнения:
\[
\begin{align*}
35c^4 &\equiv -802 \pmod{9} \\
8 \cdot 3 \cdot c^4 &\equiv -802 \pmod{9} \\
8 \cdot c^4 &\equiv 1 \pmod{9} \\
\end{align*}
\]

Мы видим, что для \(c = 2, 5, 8\) сумма \(35c^4 + 802\) будет кратной 9.

Таким образом, мы найдем значения \(b\) и \(c\), при которых суммы станут кратными 9: \(b = 2, 4, 7\) и \(c = 2, 5, 8\).