Под каким наименьшим углом α нить должна быть намотана на катушку, чтобы предотвратить ее скольжение по стене?

Яхонт

6

Чтобы ответить на ваш вопрос, давайте рассмотрим силы, действующие на нить, когда она наматывается на катушку. Угол \(\alpha\) играет важную роль в определении силы трения, которая предотвращает скольжение нити по стене.

Когда нить наматывается на катушку под углом \(\alpha\), сила трения \(F_t\) действует в направлении, противоположном направлению касания нити и стены. Если сила трения достаточно велика, нить будет надежно удерживаться на катушке без скольжения.

Сила трения может быть выражена формулой:

\[F_t = \mu \times F_n\]

где \(\mu\) - коэффициент трения между нитью и стеной, а \(F_n\) - нормальная сила, которая перпендикулярна к поверхности.

Нормальная сила \(F_n\) может быть разложена на две компоненты: \(F_n \cos(\alpha)\) и \(F_n \sin(\alpha)\). Компонента \(F_n \cos(\alpha)\) перпендикулярна к силе трения и не влияет на него. Таким образом, нам интересна только компонента \(F_n \sin(\alpha)\).

Но давайте пойдем дальше. Поскольку катушка вертикально расположена, \(F_n \sin(\alpha)\) также является силой тяжести \(F_g\) нити, действующей вниз. Сила тяжести можно выразить как:

\[F_g = m \times g\]

где \(m\) - масса нити, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Теперь мы можем записать, что:

\[F_t = \mu \times F_n = \mu \times F_g \sin(\alpha)\]

После этого возможно немного упростить выражение, заменив \(F_g\) на \(m \times g\):

\[F_t = \mu \times m \times g \times \sin(\alpha)\]

Чтобы предотвратить скольжение нити, необходимо, чтобы сила трения перевесила силу тяжести или, другими словами, \(F_t \geq F_g\). Подставим значение \(F_g\) и приведем уравнение к окончательному виду:

\[\mu \times m \times g \times \sin(\alpha) \geq m \times g\]

Сокращаем \(m \times g\):

\[\mu \times g \times \sin(\alpha) \geq g\]

И делим обе части на \(g\):

\[\mu \times \sin(\alpha) \geq 1\]

Теперь найдем наименьший угол \(\alpha\). Минимальное значение синуса равно 1, при угле \(\alpha = 90^\circ\). Поэтому, чтобы предотвратить скольжение нити по стене, нить должна быть намотана на катушку под углом не меньше \(90^\circ\).

Надеюсь, этот пошаговый анализ помог вам понять, каким образом угол намотки влияет на предотвращение скольжения нити по стене.