Под какими значениями K являются полными квадратами следующие квадратные трехчлены: 1) 4x^2 - kxy - y^2, 2) kx^2
Под какими значениями K являются полными квадратами следующие квадратные трехчлены: 1) 4x^2 - kxy - y^2, 2) kx^2 - 4xy + y^2, 3) 4x^2 - 12xy + ky^2?
Таинственный_Рыцарь_7659 15
Давайте посмотрим на каждую задачу по отдельности и найдем значения \(K\), при которых данные квадратные трехчлены являются полными квадратами.1) Для квадратного трехчлена \(4x^2 - kxy - y^2\) он является полным квадратом, если он может быть записан в виде \((2x - ay)^2\), где \(a\) - произвольное число. Раскроем скобки этого квадрата:
\((2x - ay)^2 = 4x^2 - 2axy + a^2y^2\).
Теперь сравним полученное выражение с исходным квадратным трехчленом \(4x^2 - kxy - y^2\). Мы можем заметить, что соответствующие коэффициенты при \(x^2\), \(xy\) и \(y^2\) должны быть равными. Составим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
4 = 4 \\
-k = -2a \\
-1 = a^2
\end{cases}
\]
Из третьего уравнения получаем, что \(a^2 = 1\). Значит, возможны два случая: \(a = 1\) и \(a = -1\).
Для \(a = 1\) получаем:
\[
\begin{cases}
-k = -2 \\
-1 = 1
\end{cases}
\]
Эта система уравнений не имеет решения.
Для \(a = -1\) получаем:
\[
\begin{cases}
-k = 2 \\
-1 = 1
\end{cases}
\]
В этом случае у нас есть решение, \(k = -2\).
Итак, при \(k = -2\) квадратный трехчлен \(4x^2 - kxy - y^2\) является полным квадратом.
2) Для квадратного трехчлена \(kx^2 - 4xy + y^2\) применим аналогичный метод. Запишем его в виде \((ax - 2y)^2\):
\((ax - 2y)^2 = kx^2 - 4xy + 4y^2\).
Сравниваем полученное выражение с исходным квадратным трехчленом \(kx^2 - 4xy + y^2\):
\[
\begin{cases}
k = a^2 \\
-4 = -4a \\
1 = 4
\end{cases}
\]
У системы нет решений, так как \(1 \neq 4\).
Следовательно, нет таких значений \(K\), при которых квадратный трехчлен \(kx^2 - 4xy + y^2\) является полным квадратом.
3) Наконец, рассмотрим квадратный трехчлен \(4x^2 - 12xy + ky^2\) и представим его в виде \((2x - cy)^2\):
\((2x - cy)^2 = 4x^2 - 4cxy + c^2y^2\).
Сравниваем с исходным квадратным трехчленом \(4x^2 - 12xy + ky^2\):
\[
\begin{cases}
4 = 4 \\
-4c = -12 \\
c^2 = k
\end{cases}
\]
Первое уравнение дает нам \(4 = 4\), что всегда верно.
Второе уравнение дает \(c = 3\), а третье уравнение дает \(k = 9\).
Таким образом, при \(k = 9\) квадратный трехчлен \(4x^2 - 12xy + ky^2\) является полным квадратом.
Итак, значениями \(K\) для каждого из заданных квадратных трехчленов являются: в первом случае, \(K = -2\), а в третьем случае, \(K = 9\).