Подсчитать скалярное произведение векторов c и d при условии, что длина вектора c равна 3, длина вектора d равна корень

Жужа

36

Для начала, давайте вспомним, что такое скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов — это операция, результатом которой является число (скаляр), исчисляющаяся по следующей формуле:

\[\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{c}| \cdot |\mathbf{d}| \cdot \cos(\theta)\]

где \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\) — это векторы, \(\theta\) — угол между векторами, \(|\mathbf{c}|\) и \(|\mathbf{d}|\) — их длины.

В данной задаче известно, что длина вектора \(\mathbf{c}\) равна 3, длина вектора \(\mathbf{d}\) равна \(\sqrt{2}\), а угол \(\theta\) между векторами составляет 135 градусов. Теперь можно приступить к подсчету скалярного произведения.

Подставим известные значения в формулу:

\[\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ)\]

Так как градусы — это единица измерения углов, а тригонометрические функции, такие как косинус, работают с радианами, нам необходимо перевести 135 градусов в радианы.

Формула для перевода градусов в радианы:

\[1 \text{ радиан} = \frac{\pi}{180} \text{ градусов}\]

Теперь применим эту формулу к нашему углу:

\[\theta_{\text{радианы}} = 135^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \text{ радиан}\]

Теперь, подставив значение угла в формулу, получаем:

\[\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\]

Найдем значение \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\). Значение косинуса \(\frac{3\pi}{4}\) мы можем найти в таблице тригонометрических значений или с помощью калькулятора. Для угла \(\frac{3\pi}{4}\) косинус равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Заменим значение \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\) в формуле:

\[\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\]

Таким образом, скалярное произведение векторов равно -3.

Мы рассмотрели шаг за шагом процесс нахождения скалярного произведения векторов c и d и обосновали каждый шаг. Heобходимо учесть, что знак "-" в ответе свидетельствует о том, что скалярное произведение отрицательно.