Подсчитайте угол при вершине a в треугольнике abc с известными координатами вершин a(1; 2; 3), b(6; -3; 3), c(3

Владимир

3

Шаг 1: Определение координат вектора \(\overrightarrow{ab}\)

Для определения координат вектора \(\overrightarrow{ab}\) вычитаем из координат вершины b координаты вершины a.

\[
\overrightarrow{ab} = (x_b - x_a, y_b - y_a, z_b - z_a)
\]
\[
\overrightarrow{ab} = (6 - 1, -3 - 2, 3 - 3)
\]
\[
\overrightarrow{ab} = (5, -5, 0)
\]

Шаг 2: Определение координат вектора \(\overrightarrow{ac}\)

Для определения координат вектора \(\overrightarrow{ac}\) вычитаем из координат вершины c координаты вершины a.

\[
\overrightarrow{ac} = (x_c - x_a, y_c - y_a, z_c - z_a)
\]
\[
\overrightarrow{ac} = (3 - 1, 4 - 2, 5 - 3)
\]
\[
\overrightarrow{ac} = (2, 2, 2)
\]

Шаг 3: Вычисление длины вектора \(\overrightarrow{ab}\)

Для вычисления длины вектора \(\overrightarrow{ab}\) используем формулу:

\[
|\overrightarrow{ab}| = \sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)}
\]
\[
|\overrightarrow{ab}| = \sqrt{(5^2 + (-5)^2 + 0^2)}
\]
\[
|\overrightarrow{ab}| = \sqrt{(25 + 25 + 0)}
\]
\[
|\overrightarrow{ab}| = \sqrt{50}
\]

Шаг 4: Вычисление длины вектора \(\overrightarrow{ac}\)

Для вычисления длины вектора \(\overrightarrow{ac}\) используем формулу:

\[
|\overrightarrow{ac}| = \sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)}
\]
\[
|\overrightarrow{ac}| = \sqrt{(2^2 + 2^2 + 2^2)}
\]
\[
|\overrightarrow{ac}| = \sqrt{(4 + 4 + 4)}
\]
\[
|\overrightarrow{ac}| = \sqrt{12}
\]

Шаг 5: Вычисление угла между векторами \(\overrightarrow{ab}\) и \(\overrightarrow{ac}\)

Для вычисления угла между векторами \(\overrightarrow{ab}\) и \(\overrightarrow{ac}\) используем формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{ac}}}{{|\overrightarrow{ab}| \cdot |\overrightarrow{ac}|}}
\]
где \(\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{ac}\) - скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{ab}\) и \(\overrightarrow{ac}\)

\(\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{ac} = (5 \cdot 2) + (-5 \cdot 2) + (0 \cdot 2) = 10 - 10 + 0 = 0\)

Теперь можем вычислить угол:
\[
\cos(\theta) = \frac{0}{{\sqrt{50} \cdot \sqrt{12}}}
\]
\[
\cos(\theta) = 0
\]

Так как косинус угла равен 0, то \(\theta = \frac{\pi}{2}\) или \(90^\circ\).

Ответ: Угол при вершине a в треугольнике abc равен \(90^\circ\) или \(\frac{\pi}{2}\).