Подтвердите, что сумма 6^18 + 6^10 является кратной

Солнечная_Луна

14

Для доказательства того, что сумма \(6^{18} + 6^{10}\) является кратной некоторого числа, нам потребуется использовать теорию делимости. В данном случае, мы можем заметить, что оба слагаемых являются степенями числа 6.

Общая формула для степени числа \(a\) вида \(a^n\) выглядит следующим образом: \(a^n = a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a\), где число \(a\) повторяется \(n\) раз. В нашем случае, \(a = 6\), а \(n\) равно 18 и 10 соответственно.

Теперь давайте вычислим значения этих степеней:

\[6^{18} = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6\]
\[6^{10} = 6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6\]

Обратите внимание, что в обоих случаях мы получаем произведение одного и того же числа, а именно число 6, повторяющееся \(n\) раз.

Итак, когда мы складываем два степенных выражения вида \(6^n\), мы получаем:

\[6^{18} + 6^{10} = (6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6) + (6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6)\]

Можем заметить, что оба слагаемых в этой сумме содержат одинаковое число 6, повторенное \(n\) раз. Поэтому мы можем записать данную сумму как:

\[6^{18} + 6^{10} = 6 \cdot (6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6 + 6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6)\]

Теперь мы видим, что в скобках находится сумма двух одинаковых слагаемых, а это означает, что мы можем сделать сложение с помощью умножения:

\[6^{18} + 6^{10} = 6 \cdot 2 \cdot (6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6)\]

Теперь, если мы рассмотрим выражение \(6 \cdot 2\), мы увидим, что это просто произведение двух чисел, равное 12.

Таким образом, мы можем записать исходное выражение как:

\[6^{18} + 6^{10} = 12 \cdot (6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6)\]

Последнее выражение можно упростить до:

\[6^{18} + 6^{10} = 12 \cdot 6^{n}\]

Таким образом, сумма \(6^{18} + 6^{10}\) является кратной числа 12.