Подтвердите равенство C k-1 n-1 * n/k = C k n для всех натуральных чисел k и n (где

Magnit

35

Для начала, давайте введем понятие биномиальных коэффициентов. Биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\) выражает количество способов выбрать \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов без учета порядка.

Теперь перейдем к проверке равенства \(C_{k-1}^{n-1} \cdot \frac{n}{k} = C_k^n\) для всех натуральных чисел \(k\) и \(n\), где \(1 \leq k \leq n\).

Для этого воспользуемся свойствами биномиальных коэффициентов.

1. Начнем с левой части равенства:

\(C_{k-1}^{n-1} \cdot \frac{n}{k}\)

Мы знаем, что \(C_{k-1}^{n-1}\) равно количеству способов выбрать \(k-1\) элемент из \(n-1\) элемента, а \(\frac{n}{k}\) - это отношение числа \(n\) к числу \(k\).

2. Теперь перейдем к правой части равенства:

\(C_k^n\)

Это количество способов выбрать \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов.

3. Теперь докажем равенство левой и правой частей.

Мы можем переписать \(C_k^n\) следующим образом:

\(C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Подставим это выражение в правую часть равенства и получим:

\(\frac{n!}{k!(n-k)!} = C_{k-1}^{n-1} \cdot \frac{n}{k}\)

Так как значение \(C_{k-1}^{n-1}\) равно количеству способов выбрать \(k-1\) элемент из \(n-1\) элемента, мы можем переписать это как:

\(C_{k-1}^{n-1} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\)

Подставим это выражение в равенство:

\(\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \cdot \frac{n}{k}\)

Раскроем факториалы и сократим некоторые члены:

\(\frac{n \cdot (n-1)!}{k \cdot (k-1)! \cdot (n-k)!} = \frac{(n-1)! \cdot n}{(k-1)! \cdot k \cdot (n-k)!}\)

Обратите внимание, что \((n-1)!\) - это \((n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 1\), и \((k-1)!\) - это \((k-1) \cdot (k-2) \cdot ... \cdot 1\). Некоторые члены сократятся, оставив нам:

\(\frac{n}{k} = 1\)

Таким образом, мы доказали, что левая и правая части равенства равны для всех натуральных чисел \(k\) и \(n\), где \(1 \leq k \leq n\).

Это означает, что равенство \(C_{k-1}^{n-1} \cdot \frac{n}{k} = C_k^n\) выполняется для всех натуральных чисел \(k\) и \(n\), удовлетворяющих условию \(1 \leq k \leq n\).

Надеюсь, что объяснение было понятным и исчерпывающим! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.