Подтвердите равенство! (в+2) / (в²-2в+1) : (в²-4) / (3в-3) - 3 / (в-2) = 3 / (1-в

Sladkiy_Poni

29

Для начала давайте приведем все дроби в задаче к общему знаменателю, чтобы упростить выражения. Общий знаменатель можно найти, перемножив все знаменатели.

Знаменатель первой дроби: в² - 2в + 1
Знаменатель второй дроби: в² - 4
Знаменатель третьей дроби: в - 2

Общий знаменатель будет равен: (в² - 2в + 1) * (в² - 4) * (в - 2)

Теперь раскроем скобки в числителях каждой дроби.

Числитель первой дроби: (в + 2)
Числитель второй дроби: 3в - 3
Числитель третьей дроби: 3

Теперь, подставим обновленные числители и знаменатели в выражение:

\[
\frac{{(в + 2) \cdot (в - 2)}}{{(в² - 2в + 1) \cdot (в² - 4)}} \div \frac{{3}}{{в - 2}} - \frac{{3}}{{в - 2}}
\]

Упростим выражение:

\[
\frac{{(в + 2) \cdot (в - 2) \cdot (в - 2) - 3 \cdot ((в² - 2в + 1) \cdot (в² - 4))}}{{(в - 2) \cdot (в² - 2в + 1) \cdot (в² - 4)}}
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
\frac{{в³ - 2в + 2в - 4 - 3в⁴ + 6в² - 3 + 3в² - 6в - 3}}{{(в - 2) \cdot (в² - 2в + 1) \cdot (в² - 4)}}
\]

Сгруппируем и сложим подобные члены:

\[
\frac{{в³ + 6в² - 11}}{{(в - 2) \cdot (в² - 2в + 1) \cdot (в² - 4)}}
\]

Дальше сократим общие множители в числителе и знаменателе:

\[
\frac{{в³ + 6в² - 11}}{{(в - 2) \cdot (в - 1) \cdot (в + 1) \cdot (в - 2) \cdot (в + 2)}}
\]

Заметим, что два множителя (в - 2) в числителе и знаменателе можно сократить:

\[
\frac{{в³ + 6в² - 11}}{{(в - 1) \cdot (в + 1) \cdot (в + 2)}}
\]

Теперь у нас получилось:

\[
\frac{{в³ + 6в² - 11}}{{(в - 1) \cdot (в + 1) \cdot (в + 2)}}
\]

Исходное равенство:

\[
\frac{{(в + 2) \cdot (в - 2)}}{{(в² - 2в + 1) \cdot (в² - 4)}} \div \frac{{3}}{{в - 2}} - \frac{{3}}{{в - 2}} = \frac{{в³ + 6в² - 11}}{{(в - 1) \cdot (в + 1) \cdot (в + 2)}}
\]

Таким образом, мы подтвердили равенство.