Покажите, что один из отрезков, на которые высота делит сторону неравнобедренного треугольника, прилегает к большему

  • 41
Покажите, что один из отрезков, на которые высота делит сторону неравнобедренного треугольника, прилегает к большему углу, не используя тангенс.
Oksana
70
Для доказательства того, что один из отрезков, на которые высота делит сторону неравнобедренного треугольника, прилегает к большему углу, можно использовать свойства подобных треугольников и доказательство от противного.

Предположим, что высота треугольника, проведенная из вершины, делит боковую сторону на два отрезка, причем оба эти отрезка прилегают к острой вершине неравнобедренного треугольника. Обозначим эти отрезки как x и y, а длину основания треугольника как c.

Согласно свойствам подобных треугольников, мы можем записать следующие отношения:
cx=cy+x(1)

Рассмотрим выражение cy+x. Поскольку y и x являются положительными отрезками, очевидно, что y+x<c. Следовательно, отношение cy+x будет меньше 1.

Подставим это значение в уравнение (1):
cx<1(2)

Вернемся к исходному уравнению (1) и рассмотрим выражение cx. Так как x является положительным отрезком, очевидно, что cx>0. Из уравнения (2) следует, что cx<1. Таким образом, мы приходим к противоречию: отношение cx не может быть одновременно больше и меньше 1.

Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, и один из отрезков, на которые высота делит сторону неравнобедренного треугольника, прилегает к большему углу треугольника. Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.