Покажите, что один из отрезков, на которые высота делит сторону неравнобедренного треугольника, прилегает к большему

Oksana

70

Для доказательства того, что один из отрезков, на которые высота делит сторону неравнобедренного треугольника, прилегает к большему углу, можно использовать свойства подобных треугольников и доказательство от противного.

Предположим, что высота треугольника, проведенная из вершины, делит боковую сторону на два отрезка, причем оба эти отрезка прилегают к острой вершине неравнобедренного треугольника. Обозначим эти отрезки как \(x\) и \(y\), а длину основания треугольника как \(c\).

Согласно свойствам подобных треугольников, мы можем записать следующие отношения:
\[
\frac{c}{x} = \frac{c}{y + x} \quad\text{(1)}
\]

Рассмотрим выражение \(\frac{c}{y+x}\). Поскольку \(y\) и \(x\) являются положительными отрезками, очевидно, что \(y+x < c\). Следовательно, отношение \(\frac{c}{y+x}\) будет меньше 1.

Подставим это значение в уравнение (1):
\[
\frac{c}{x} < 1 \quad\text{(2)}
\]

Вернемся к исходному уравнению (1) и рассмотрим выражение \(\frac{c}{x}\). Так как \(x\) является положительным отрезком, очевидно, что \(\frac{c}{x} > 0\). Из уравнения (2) следует, что \(\frac{c}{x} < 1\). Таким образом, мы приходим к противоречию: отношение \(\frac{c}{x}\) не может быть одновременно больше и меньше 1.

Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, и один из отрезков, на которые высота делит сторону неравнобедренного треугольника, прилегает к большему углу треугольника. Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.