Покажите, что плоскость, проходящая через точки А, В и С, параллельна плоскости, проходящей через точки М, N

Лиска

37

Для начала, давайте вспомним, что значит параллельность плоскостей. Две плоскости считаются параллельными, если они никогда не пересекаются и расстояние между ними не изменяется.

Итак, у нас есть две плоскости: плоскость, проходящая через точки А, В и С, и плоскость, проходящая через точки М и N. Наша задача - показать, что эти две плоскости параллельны.

Для доказательства параллельности двух плоскостей нам необходимо убедиться, что их нормали (векторы, перпендикулярные плоскости и указывающие на ее направление) коллинеарны, то есть параллельны.

Шаг 1: Найдем нормали к обоим плоскостям.

Для плоскости, проходящей через точки А, В и С, выберем два вектора, например, \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), и найдем их векторное произведение. Это даст нам нормаль к этой плоскости.

\(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\)
\(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\)

Вычислим:
\(\vec{AB} = (\text{координаты точки B} - \text{координаты точки A})\)
\(\vec{AC} = (\text{координаты точки C} - \text{координаты точки A})\)

Возьмем векторное произведение:
\(\vec{N_1} = \vec{AB} \times \vec{AC}\)

Аналогично, для плоскости, проходящей через точки М и N, выберем два вектора, например, \(\vec{MN}\) и \(\vec{NM}\), и найдем их векторное произведение. Это даст нам нормаль к этой плоскости.

\(\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M}\)
\(\vec{NM} = \vec{M} - \vec{N}\)

Вычислим:
\(\vec{MN} = (\text{координаты точки N} - \text{координаты точки M})\)
\(\vec{NM} = (\text{координаты точки M} - \text{координаты точки N})\)

Возьмем векторное произведение:
\(\vec{N_2} = \vec{MN} \times \vec{NM}\)

Шаг 2: Установим, коллинеарны ли нормали к плоскостям.

Для этого проверим, являются ли нормали коллинеарными, то есть параллельными.

Если векторы нормалей коллинеарны, то это означает, что плоскости параллельны. Если они не коллинеарны, значит, плоскости пересекаются.

Для проверки коллинеарности можно воспользоваться следующей формулой:

\(\frac{N_{1_x}}{N_{2_x}} = \frac{N_{1_y}}{N_{2_y}} = \frac{N_{1_z}}{N_{2_z}}\)

где \(N_{1_x}\), \(N_{1_y}\), \(N_{1_z}\) - компоненты вектора \(\vec{N_1}\), а \(N_{2_x}\), \(N_{2_y}\), \(N_{2_z}\) - компоненты вектора \(\vec{N_2}\).

Если все соотношения выполняются, то плоскости параллельны.

Приведенные шаги можно использовать для доказательства параллельности плоскостей, проходящих через точки А, В и С, и М, N. Надеюсь, этот пошаговый алгоритм поможет вам разобраться в решении этой задачи.