Покажите, что при делении стороны неравнобедренного треугольника на два отрезка, меньший из них всегда соответствует

Ledyanoy_Podryvnik

38

Для доказательства этого утверждения, мы можем использовать свойство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух сторон треугольника всегда должна быть больше длины третьей стороны.

Давайте предположим, что у нас есть неравнобедренный треугольник ABC, где стороны AB и AC разделены точкой D на два отрезка, AD и DB, таким образом, что AD меньше, чем DB. Мы должны доказать, что угол B (больший угол) соответствует отрезку DB, а не отрезку AD.

Проведем высоту треугольника из вершины B, перпендикулярно к основанию AC. Пусть эта высота пересекает сторону AC в точке E.

Так как у нас неравнобедренный треугольник, значит, углы при вершинах A и C не равны. Допустим, угол A больше, чем угол C.

Теперь рассмотрим треугольник ABE. В этом треугольнике у нас есть общая сторона AB, а также одинаковые углы A и B, так как угол B - это перпендикулярная высота треугольника.

Согласно свойству треугольников, длина стороны AE должна быть меньше, чем сумма длин сторон AB и BE:

AE < AB + BE

Теперь рассмотрим треугольник BCD. У нас есть общая сторона BC и одинаковые углы B и C, так как угол B - это перпендикулярная высота треугольника.

Опять же, согласно свойству треугольников, длина стороны CE должна быть меньше, чем сумма длин сторон BC и BE:

CE < BC + BE

Но мы знаем, что BC = AC и BE = BE (общая сторона).

Поэтому мы можем переписать последнее неравенство как:

CE < AC + BE

Так как AE = AC - CE (по построению), мы можем заменить это в неравенстве:

AE < AE + CE + BE

AE < AB + BE

Таким образом, мы видим, что AE < AB + BE и AE < AB + BE. Так как AB + BE = AD (по построению), мы можем записать это как:

AE < AD

Однако, формально, AE не может быть меньше AD, так как AE является отрезком, который построен внутри отрезка AD. Это противоречие.

Из этих противоречий мы делаем вывод, что наше предположение о том, что AD меньше, чем DB, неверно. Значит, меньший из двух отрезков всегда соответствует большему углу треугольника.

Таким образом, утверждение доказано.