Які є натуральні значення m, при яких дріб (7m-2)/19 буде простим? Обгрунтуйте свою відповідь

Мистический_Подвижник_6635

2

Для того чтобы дробь \(\frac{{7m-2}}{{19}}\) была простой, необходимо и достаточно, чтобы числитель \(7m-2\) был взаимно простым с знаменателем 19. Для обоснования этого факта, вспомним определение простого числа.

Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Затем, два числа считаются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Теперь рассмотрим числитель \(7m-2\). Если это число будет иметь несколько делителей, то мы не сможем утверждать, что дробь \(\frac{{7m-2}}{{19}}\) является простой.

Таким образом, чтобы обосновать, когда дробь будет простой, нужно решить уравнение \(7m-2=1\), так как при этом значения м, дробь будет простой.

Решим уравнение:
\[7m-2=1\]
Добавим 2 к обеим сторонам уравнения:
\[7m=3\]
Разделим обе части на 7:
\[m=\frac{3}{7}\]

Поэтому, при \(m = \frac{3}{7}\), дробь \(\frac{{7m-2}}{{19}}\) будет простой.

Обратите внимание, что приведенное решение основано на предположении, что числитель \(7m-2\) имеет только два делителя. Если существуют другие значений \(m\), при которых дробь будет простой, их можно найти, решив данное уравнение или анализируя другие возможные делители числителя и знаменателя.