Покажите, что прямая, являющаяся биссектрисой угла EOB, перпендикулярна прямой, на которой лежат прямые AB и CD

Звезда

1

Дано: Прямая AB, прямая CD, точка E лежит на AB, точка O - точка пересечения AB и CD.

Мы должны доказать, что прямая, являющаяся биссектрисой угла EOB (угол между прямыми EO и OB), перпендикулярна прямой, на которой лежат прямые AB и CD, и их пересечение в точке O.

Для начала, давайте рассмотрим определение биссектрисы. Биссектрисой угла является прямая, которая делит данный угол пополам. В нашем случае, мы должны показать, что прямая EO делит угол EOB на две равные половины.

Теперь вспомним основное свойство биссектрисы. Оно гласит, что биссектриса угла перпендикулярна линии, на которой лежат начальные стороны этого угла (в данном случае прямые AB и CD). Таким образом, нам нужно показать, что прямая, являющаяся биссектрисой угла EOB, перпендикулярна прямой AB и CD.

Чтобы это показать, мы можем воспользоваться свойством вертикальных углов. Вспомним, что вертикальные углы равны. Таким образом, угол EOC равен углу AOD. (1)

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники EOC и AOD. У них одинаковые гипотенузы (прямые EO и OA соответственно), и у них равны углы COE и AOD (так как они вертикальные углы). Из этих данных следует, что треугольники EOC и AOD подобны. (2)

По свойству подобных треугольников отношение длин сторон в подобных треугольниках равно. Таким образом, мы можем сказать, что \(\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{OC}}{{OD}}\). (3)

Теперь вспоминаем, что биссектриса угла делит его начальную сторону (прямую AB) пропорционально отношению остальных сторон (прямых AE и EB). В нашем случае, это означает, что \(\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{EO}}{{AO}}\). (4)

Так как у нас С共ина с (3) и (4), мы можем заключить, что \(\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{EO}}{{AO}}\).

Теперь давайте сделаем вывод. Мы показали, что \(\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{OC}}{{OD}}\) и \(\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{EO}}{{AO}}\). Таким образом, \(\frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{EO}}{{AO}}\).

Поскольку отношения равны, мы можем сказать, что \(EO \cdot OD = AO \cdot OC\).

Из этого следует, что прямые EO, OD, AO и OC образуют прямоугольник. В прямоугольнике противоположные стороны перпендикулярны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что прямая, являющаяся биссектрисой угла EOB, перпендикулярна прямой, на которой лежат прямые AB и CD и их пересечение в точке O.