Помогите определить скалярное произведение векторов на рисунке, учитывая, что сторона клетки равна 3 единицы измерения

Федор

56

Для нахождения скалярного произведения векторов важно знать их координаты или длины. Посмотрим на рисунок, где сторона клетки равна 3 единицам измерения.

1. \(d \cdot c = |d| \cdot |c| \cdot \cos(\theta)\).
Вектор \(d\) имеет координаты (1, -1), а вектор \(c\) - (2, 3).
Длины векторов найдем по формуле: \(|d| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\) и \(|c| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\).
Найдем угол между векторами: \(\cos(\theta) = \frac{d \cdot c}{|d| \cdot |c|}\).
Подставляем значения: \(\cos(\theta) = \frac{1 \cdot 2 + (-1) \cdot 3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{2 - 3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}} = -\frac{1}{\sqrt{26}}\).
Теперь скалярное произведение: \(d \cdot c = \sqrt{2} \cdot \sqrt{13} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{26}}) = -\sqrt{26}\).

2. \(b \cdot d = |b| \cdot |d| \cdot \cos(\phi)\).
Вектор \(b\) имеет координаты (3, 2).
Найдем длины векторов: \(|b| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\) (это значение уже вычислено).
Для вектора \(d\) длина также равна \(\sqrt{2}\), как найдено выше.
Угол между векторами: \(\cos(\phi) = \frac{b \cdot d}{|b| \cdot |d|}\).
Подставляем значения: \(\cos(\phi) = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1)}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3 - 2}{\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\).
Скалярное произведение: \(b \cdot d = \sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \sqrt{26}\).

3. \(n \cdot d = |n| \cdot |d| \cdot \cos(\omega)\).
К сожалению, координаты вектора \(n\) не даны на рисунке, поэтому скалярное произведение \(n \cdot d\) не может быть вычислено без конкретных значений вектора \(n\).

Таким образом, скалярное произведение векторов задано на первых двух пунктах.