Поставте на графік функцію y=x²+4x-13 та знайдіть: 1) діапазон значень функції 2) інтервали зростання та спадання

Andreevich

8

Хорошо! Давайте решим эту задачу по шагам.

Шаг 1: Построение графика функции.
Для построения графика функции \(y=x^2+4x-13\) мы можем использовать несколько методов. Один из самых простых и понятных — это построение таблицы значений и отображение точек на графике.

Давайте выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\). Сначала рассмотрим отрицательные значения \(x\), затем ноль и, наконец, положительные значения \(x\).

Если мы возьмем \(x = -3\), то \(y = (-3)^2 + 4(-3) - 13 = 9 - 12 - 13 = -16\).
Если мы возьмем \(x = -2\), то \(y = (-2)^2 + 4(-2) - 13 = 4 - 8 - 13 = -17\).
Если мы возьмем \(x = -1\), то \(y = (-1)^2 + 4(-1) - 13 = 1 - 4 - 13 = -16\).
Если мы возьмем \(x = 0\), то \(y = (0)^2 + 4(0) - 13 = 0 - 0 - 13 = -13\).
Если мы возьмем \(x = 1\), то \(y = (1)^2 + 4(1) - 13 = 1 + 4 - 13 = -8\).
Если мы возьмем \(x = 2\), то \(y = (2)^2 + 4(2) - 13 = 4 + 8 - 13 = -1\).
Если мы возьмем \(x = 3\), то \(y = (3)^2 + 4(3) - 13 = 9 + 12 - 13 = 8\).

Теперь у нас есть несколько точек для построения графика: (-3, -16), (-2, -17), (-1, -16), (0, -13), (1, -8), (2, -1), (3, 8).

Шаг 2: Построение графика.
На графике по оси \(x\) отложим значения -3, -2, -1, 0, 1, 2 и 3, а по оси \(y\) — значения -17, -16, -13, -8, -1 и 8.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & -16 \\
-2 & -17 \\
-1 & -16 \\
0 & -13 \\
1 & -8 \\
2 & -1 \\
3 & 8 \\
\hline
\end{array}
\]

Поставим точки на графике и соединим их линией.

(Вставить график с отмеченными точками)

Шаг 3: Диапазон значений функции.
Диапазон значений функции - это все возможные значения \(y\), которые принимает функция. Из графика видно, что значение функции не ограничено снизу, но ограничено сверху. Мы видим, что наибольшее значение функции равно 8. Поэтому диапазон значений функции: \(-\infty < y \leq 8\).

Шаг 4: Интервалы зростания и спадания функции.
Чтобы найти интервалы зростания и спадания функции, мы исследуем знак производной функции. Если производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает. Если производная равна нулю, то функция достигает экстремума.

Другими словами, чтобы найти интервалы зростания и спадания, мы найдем значения \(x\), при которых производная функции равна нулю и определим знак производной между этими значениями.

Производная функции \(y=x^2+4x-13\) равна \(y" = 2x + 4\). Чтобы найти \(x\), при котором производная равна нулю, решаем уравнение \(2x + 4 = 0\).

\(2x = -4\)
\(x = -2\)

Теперь мы знаем, что функция достигает экстремума при \(x = -2\), но чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, следует проанализировать производную в окрестности \(x = -2\).

Если мы возьмем \(x = -3\) (число меньше -2), то \(y" = 2(-3) + 4 = -2\) (отрицательное значение).
Если мы возьмем \(x = -1\) (число больше -2), то \(y" = 2(-1) + 4 = 2\) (положительное значение).

Исходя из этого, мы можем сказать, что функция \(y=x^2+4x-13\) убывает на интервале \(-\infty < x < -2\) и возрастает на интервале \(-2 < x < \infty\).

Вот и все! Мы построили график функции, нашли ее диапазон значений и интервалы зростания и спадания. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь их задавать.