Построить графики продольных сил и нормальных напряжений в зависимости от длины данного бруса. Рассчитать смещение

Витальевна

8

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала построить графики продольных сил и нормальных напряжений в зависимости от длины бруса. Затем мы сможем рассчитать смещение свободного конца бруса.

1. Построение графика продольных сил:
Продольные силы в брусе могут изменяться по мере его длины. Давайте создадим график, где по горизонтальной оси будет откладываться длина бруса \( l \), а по вертикальной оси - продольная сила \( F \).

Используем данные задачи: \( F_1 = 28 \, кН \), \( F_2 = 14 \, кН \) и \( F_3 = 5 \, кН \).

Для удобства расчетов, переведем площади поперечных сечений в метры:
\( A_1 = 1.9 \, см^2 = 0.00019 \, м^2 \) и \( A_2 = 2.4 \, см^2 = 0.00024 \, м^2 \).

Продольную силу \( F \) можно рассчитать, используя формулу:
\[ F = \sigma \cdot A \]

Где \( \sigma \) - нормальное напряжение в брусе, которое мы рассчитаем позже, а \( A \) - площадь поперечного сечения.

Учитывая, что брус является двухступенчатым, нормальное напряжение будет различаться для разных участков. Для трех участков бруса рассчитаем продольные силы:

Для участка 1 (первый ступенчатый участок):
\[ F_1 = \sigma_1 \cdot A_1 \]

Для участка 2 (ступень):
\[ F_2 = \sigma_2 \cdot A_2 \]

Для участка 3 (второй ступенчатый участок):
\[ F_3 = \sigma_3 \cdot A_2 \]

Теперь мы можем рассчитать нормальные напряжения \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \) и \( \sigma_3 \):

Для участка 1 (первый ступенчатый участок):
\[ \sigma_1 = \frac{F_1}{A_1} \]

Для участка 2 (ступень):
\[ \sigma_2 = \frac{F_2}{A_2} \]

Для участка 3 (второй ступенчатый участок):
\[ \sigma_3 = \frac{F_3}{A_2} \]

Теперь мы можем построить график продольных сил в зависимости от длины \( l \).

2. Построение графика нормальных напряжений:
Нормальные напряжения \( \sigma \) также будут меняться по мере изменения длины бруса. Построим график, где по горизонтальной оси будет откладываться длина бруса \( l \), а по вертикальной оси - нормальное напряжение \( \sigma \).

Используем ранее рассчитанные значения нормальных напряжений \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \) и \( \sigma_3 \) для каждого участка бруса.

Теперь мы можем построить график нормальных напряжений в зависимости от длины \( l \).

3. Расчет смещения свободного конца бруса:
Чтобы рассчитать смещение свободного конца бруса, мы можем использовать формулу для изгибной жесткости:

\[ EI \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = -M \]

Где:
- \( EI \) - изгибная жесткость (произведение модуля упругости \( E \) на момент инерции сечения \( I \));
- \( y \) - смещение;
- \( x \) - координата оси \( x \);
- \( M \) - изгибающий момент.

В нашем случае, брус имеет прямоугольное сечение, поэтому момент инерции сечения будет равен:

\[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

Где:
- \( b \) - ширина сечения;
- \( h \) - высота сечения.

У нас есть площадь поперечного сечения \( A_2 \), поэтому мы можем рассчитать ширину \( b \) и высоту \( h \) сечения бруса.

Принимая \( b = a \) и \( h = 2 \cdot a \), мы можем рассчитать момент инерции сечения \( I \). Затем необходимо вычислить изгибную жесткость \( EI \) с помощью модуля упругости \( E \) и момента инерции сечения \( I \).

Теперь у нас есть все данные для использования формулы изгибной жесткости и рассчета смещения свободного конца бруса.

Подставим известные значения и решим дифференциальное уравнение для \( y \) методом пошагового интегрирования (например, методом Эйлера) для получения приближенного значения смещения свободного конца бруса в зависимости от длины \( l \).

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас есть конкретные вопросы или вам нужна помощь в решении других задач, пожалуйста, сообщите мне, и я буду рад помочь!