Построить плоскость, которая пересекает призму АВСDА1В1С1D1 по прямой DQ, где точка Q находится на ребре СС1, и точку

Ledyanoy_Vzryv

11

Для построения плоскости, пересекающей призму АВСDА₁В₁С₁D₁ по прямой DQ, сначала мы должны определить координаты точки Q и точки Р. Затем используем эти координаты для построения искомой плоскости.

Пусть точка Q находится на ребре СС₁ и имеет координаты (x, y, z), где x, y и z - координаты точки Q.

По условию задачи точка P находится на грани АА₁В₁В, поэтому она имеет координаты (x, 0, z).

Таким образом, у нас есть две точки: Q с координатами (x, y, z) и P с координатами (x, 0, z).

Для построения плоскости, проходящей через эти две точки, можно использовать уравнение плоскости в общем виде \(Ax + By + Cz + D = 0\), где A, B, C и D - неизвестные коэффициенты.

Чтобы найти эти коэффициенты, подставим координаты точки Q и P в уравнение плоскости:

\(Ax + By + Cz + D = 0\) для точки Q: \(A(x) + B(y) + C(z) + D = 0\)

\(Ax + By + Cz + D = 0\) для точки P: \(A(x) + B(0) + C(z) + D = 0\)

Разрешим эти два уравнения с учетом условия, что эта плоскость проходит через точку Q и P.

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

\(Ax + Cz + D = 0\)

Вычтем первое уравнение из второго:

\(By = 0\)

Так как y - это координата точки Q, то она не равна нулю. Значит, мы получаем \(B = 0\).

Переставим уравнение DQ и получим выражение для A:

\(Ax + Cz + D = 0\)

\(Ax = -Cz - D\)

\(A = \frac{{-Cz - D}}{{x}}\)

Теперь у нас есть значения B и A:

\(B = 0\) и \(A = \frac{{-Cz - D}}{{x}}\).

Теперь повернемся к грани АА₁В₁В и рассмотрим, как мы можем определить коэффициенты C и D.

Мы знаем, что грань В₁В параллельна координатной плоскости XY, поэтому коэффициент А уравнения плоскости должен быть равен нулю.

Подставим значения A и B в уравнение плоскости и учтем, что A = 0:

\(0x + 0y + Cz + D = 0\)

\(Cz + D = 0\)

Так как грань В₁В лежит в плоскости XY, то у нее z-координата равна нулю. Подставим это значение и получим:

\(C(0) + D = 0\)

\(D = 0\)

Теперь мы знаем, что B = 0, A = \(\frac{{-Cz - D}}{{x}} = \frac{{-Cz}}{{x}}\) и D = 0.

Подставим эти значения в уравнение плоскости:

\(0x + 0y + Cz + 0 = 0\)

\(Cz = 0\)

Если C = 0, то плоскость проходит через ось Z и является горизонтальной плоскостью.

Теперь у нас есть полное уравнение плоскости для данной задачи и соответствующая плоскость:

\(0x + 0y + 0z + 0 = 0\)

\(0 = 0\)

Таким образом, плоскость, которая пересекает призму АВСDА₁В₁С₁D₁ по прямой DQ, будет горизонтальной плоскостью, проходящей через все точки призмы, так как все коэффициенты A, B, C и D равны нулю.