Постройте диаграмму для функции f(x)=x^2+6x+8. Используя диаграмму, найдите: 1. Диапазон значений функции. 2. Интервалы

Saveliy

48

Решение:

1. Для построения диаграммы функции \(f(x) = x^2 + 6x + 8\) мы будем использовать координатную плоскость. Для начала, определим форму функции. В данном случае, функция является параболой, так как наивысший показатель степени равен 2.

Чтобы построить диаграмму, мы должны найти координаты вершины параболы и определить направление открытия (вверх или вниз). Для этого воспользуемся формулой для нахождения вершины параболы: \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - соответствующие коэффициенты в нашей функции \(f(x)\). В данном случае, \(a = 1\) и \(b = 6\).

Вычисляя, получаем:
\[x = -\frac{6}{2(1)} = -3\]

Теперь, чтобы найти соответствующее значение \(y\), подставим \(x\) в функцию:
\[f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1\]

Таким образом, вершина параболы - точка \((-3, -1)\).

2. Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, необходимо проанализировать знак производной функции. Если производная функции положительна, функция возрастает, если отрицательна - функция убывает.

Для этого возьмем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = 2x + 6\]

Теперь найдем значения \(x\), при которых производная равна нулю:
\[2x + 6 = 0\]
\[2x = -6\]
\[x = -3\]

Это означает, что функция \(f(x)\) будет возрастать при \(x < -3\) и убывать при \(x > -3\).

3. Теперь мы можем использовать диаграмму для определения множества значений, удовлетворяющих заданным неравенствам.

а. \(f(x) > 0\)

На диаграмме видно, что функция находится выше оси \(x\) (абсциссы) при значениях \(x\) на интервале \((-3, +\infty)\). Поэтому, множество значений, удовлетворяющих неравенству \(f(x) > 0\), будет \(x > -3\).

б. \(f(x) < 0\)

В случае данной функции, она не пересекает ось \(x\) (абсцисс), поэтому множество значений, удовлетворяющих неравенству \(f(x) < 0\), будет пустым.

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.