Каким образом можно решить уравнение 4|x|-11=25-2|x|?

Shustrik

6

Чтобы решить данное уравнение, нужно следовать нескольким шагам. Давайте начнем.

Шаг 1: Раскрыть модули
У нас есть модули в уравнении, поэтому в первую очередь нам нужно раскрыть их значение. Раскроем модуль \(|x|\), заменив его на два варианта: положительное и отрицательное значение.

Для положительного значения \(x\), уравнение примет вид:
\[4x - 11 = 25 - 2x\]

А для отрицательного значения \(x\), уравнение будет выглядеть так:
\[4(-x) - 11 = 25 - 2(-x)\]

Шаг 2: Решите уравнения с двумя вариантами значения \(x\)
Теперь мы получили два уравнения, и нам нужно решить каждое из них отдельно.

Приступим к первому уравнению:
\[4x - 11 = 25 - 2x\]

Соберем все члены с \(x\) слева, а константы справа:
\[4x + 2x = 25 + 11\]

Суммируем переменные \(x\) и константы, получаем:
\[6x = 36\]

Теперь разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти значение \(x\):
\[x = \frac{36}{6}\]

Выполняем деление:
\[x = 6\]

Теперь давайте рассмотрим второе уравнение:
\[4(-x) - 11 = 25 - 2(-x)\]

Упростим его:
\[-4x - 11 = 25 + 2x\]

Соберем все переменные и константы:
\[-4x - 2x = 25 + 11\]

Выполняем сложение:
\[-6x = 36\]

Разделим обе части на -6:
\[x = \frac{36}{-6}\]

Выполняем деление:
\[x = -6\]

Шаг 3: Проверка корней
Теперь, когда мы нашли два значения \(x\), давайте проверим оба корня, подставив их обратно в исходное уравнение. Проверка позволяет нам убедиться, что значения \(x\) удовлетворяют исходному уравнению.

Подставим первое значение \(x = 6\) обратно в исходное уравнение:
\[4|x| - 11 = 25 - 2|x|\]
\[4|6| - 11 = 25 - 2|6|\]
\[4(6) - 11 = 25 - 2(6)\]
\[24 - 11 = 25 - 12\]
\[13 = 13\]

При подстановке \(x = 6\) получаем верное равенство, значит, это одно из решений.

Теперь подставим второе значение \(x = -6\):
\[4|x| - 11 = 25 - 2|x|\]
\[4|-6| - 11 = 25 - 2|-6|\]
\[4(6) - 11 = 25 - 2(6)\]
\[24 - 11 = 25 - 12\]
\[13 = 13\]

Также получаем верное равенство, значит, и \(x = -6\) является решением.

Итак, у нас есть два решения для уравнения \(4|x|-11=25-2|x|\): \(x = 6\) и \(x = -6\).