Постройте диаграмму функции y=x^2-6x+5 и определите, используя график, а) значения x, при которых функция принимает

Летучая_Мышь

23

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу более детально.

а) Чтобы найти значения x, при которых функция \(y=x^2-6x+5\) принимает положительные значения, нужно определить, на каких участках графика функции y положительна.

Для этого построим график функции. Для начала найдем вершину параболы, которая задает функцию y.

Формула для нахождения x-координаты вершины параболы имеет вид \(x = -\frac{b}{2a}\), где a и b - коэффициенты при x в уравнении параболы \(y = ax^2 + bx + c\).

В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\), поэтому \(x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\).

Таким образом, координаты вершины параболы равны (3, f(3)), где f(x) - это значение функции для данного x.

Теперь нарисуем график функции. Для этого построим координатную плоскость, где ось x будет горизонтальной, а ось y - вертикальной. Обозначим точку вершины параболы (3, f(3)).

\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & 3 & +\infty \\
\hline
y & \nearrow & f(3) & \nearrow \\
\end{array}
\]

Так как вершина параболы находится выше оси x, а коэффициент при \(x^2\) положительный, график функции открывается вверх.

Теперь найдем, для каких значений x функция принимает положительные значения. Заметим, что на интервале \((- \infty, 3)\) функция y отрицательна, аналогично и на интервале \((3, +\infty)\). Однако, в окрестности точки 3 функция принимает положительное значение.

Таким образом, ответ для пункта "а" будет: функция y принимает положительные значения в интервале \((3 - \varepsilon, 3 + \varepsilon)\), где \(\varepsilon\) - малое положительное число.

б) Теперь рассмотрим промежутки, на которых функция убывает. Функция убывает на том участке графика, где значение функции уменьшается при возрастании x.

Найдем точку, в которой график функции y пересекает ось x. Для этого приравняем функцию \(y = x^2-6x+5\) к нулю и решим это уравнение.

\(x^2-6x+5 = 0\)

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2-4ac\), где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). Подставим значения в формулу для дискриминанта:

\(D = (-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 5 = 36-20 = 16\)

Дискриминант равен 16, что больше нуля. Это означает, что у уравнения есть два действительных корня. По формуле квадратного корня, получаем:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

Таким образом, график функции y пересекает ось x в точках (5, 0).

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x & -\infty & 5 & 3 & 5 & +\infty \\
\hline
y & \nearrow & 0 & \searrow & 0 & \nearrow \\
\end{array}
\]

Мы видим, что функция убывает на интервалах \((-\infty, 5)\) и \((5, 3)\), так как значения функции уменьшаются при возрастании x на этих интервалах.

Ответ для пункта "б" будет: функция убывает на интервалах \((-\infty, 5)\) и \((5, 3)\).