Постройте диаграмму функции y=x^2-6x+5 и определите, используя график, а) значения x, при которых функция принимает

Летучая_Мышь

23

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу более детально.

а) Чтобы найти значения x, при которых функция $y=x^2-6x+5$ принимает положительные значения, нужно определить, на каких участках графика функции y положительна.

Для этого построим график функции. Для начала найдем вершину параболы, которая задает функцию y.

Формула для нахождения x-координаты вершины параболы имеет вид $x=-\frac{b}{2a}$, где a и b - коэффициенты при x в уравнении параболы $y=a{x}^2+bx+c$.

В данном случае у нас $a=1$, $b=-6$, $c=5$, поэтому $x=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3$.

Таким образом, координаты вершины параболы равны (3, f(3)), где f(x) - это значение функции для данного x.

Теперь нарисуем график функции. Для этого построим координатную плоскость, где ось x будет горизонтальной, а ось y - вертикальной. Обозначим точку вершины параболы (3, f(3)).

$$\begin{array}{cccc}x& -\mathrm{\infty }& 3& +\mathrm{\infty }\\ y& \nearrow & f(3)& \nearrow \end{array}$$

Так как вершина параболы находится выше оси x, а коэффициент при $x^2$ положительный, график функции открывается вверх.

Теперь найдем, для каких значений x функция принимает положительные значения. Заметим, что на интервале $(-\mathrm{\infty },3)$ функция y отрицательна, аналогично и на интервале $(3,+\mathrm{\infty })$. Однако, в окрестности точки 3 функция принимает положительное значение.

Таким образом, ответ для пункта "а" будет: функция y принимает положительные значения в интервале $(3-\epsilon ,3+\epsilon )$, где $\epsilon$ - малое положительное число.

б) Теперь рассмотрим промежутки, на которых функция убывает. Функция убывает на том участке графика, где значение функции уменьшается при возрастании x.

Найдем точку, в которой график функции y пересекает ось x. Для этого приравняем функцию $y=x^2-6x+5$ к нулю и решим это уравнение.

$x^2-6x+5=0$

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта $D=b^2-4ac$, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В нашем случае $a=1$, $b=-6$, $c=5$. Подставим значения в формулу для дискриминанта:

$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$

Дискриминант равен 16, что больше нуля. Это означает, что у уравнения есть два действительных корня. По формуле квадратного корня, получаем:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{6\pm 4}{2}=\frac{10}{2}=5$

Таким образом, график функции y пересекает ось x в точках (5, 0).

$$\begin{array}{cccccc}x& -\mathrm{\infty }& 5& 3& 5& +\mathrm{\infty }\\ y& \nearrow & 0& \searrow & 0& \nearrow \end{array}$$

Мы видим, что функция убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty },5)$ и $(5,3)$, так как значения функции уменьшаются при возрастании x на этих интервалах.

Ответ для пункта "б" будет: функция убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty },5)$ и $(5,3)$.