Постройте график функции второй степени и объясните ее характеристики: у=(х-2)(х+4

Vasilisa

5

Конечно! Для начала, построим график функции \(y = (x-2)(x+4)\) шаг за шагом.

1. Чтобы построить график функции второй степени, нам нужно определить, как она изменяется в зависимости от значения \(x\). Начнем с простого: найдем особые точки и ось симметрии.

Ось симметрии \(x\) определяется как точка, в которой график симметричен. Для функции \(y = (x-2)(x+4)\) она находится посередине между корнями квадратного уравнения \((x-2)(x+4) = 0\). Решим это уравнение:

\((x-2)(x+4) = 0\)

Корни этого уравнения равны \(x = 2\) и \(x = -4\). Таким образом, ось симметрии находится посередине между этими двумя значениями, то есть \(x = -1\).

2. Теперь, чтобы определить, куда направлен график, проанализируем знак функции в разных областях относительно оси симметрии. Для этого мы можем взять случайные точки слева и справа от оси симметрии и вычислить значения функции.

Для \(x = -2\) получаем:

\(y = (-2-2)(-2+4) = (-4)(2) = -8\)

Для \(x = 0\) получаем:

\(y = (0-2)(0+4) = (-2)(4) = -8\)

Для \(x = 2\) получаем:

\(y = (2-2)(2+4) = (0)(6) = 0\)

Для \(x = 4\) получаем:

\(y = (4-2)(4+4) = (2)(8) = 16\)

Из этих вычислений видно, что если \(x\) находится слева от оси симметрии (\(x < -1\)), то функция отрицательна. Если \(x\) находится справа от оси симметрии (\(x > -1\)), то функция положительна.

3. Теперь, касательно формы графика функции, заметим, что у нас есть \(x^2\) в уравнении, что указывает на параболу. Из оси симметрии \(x = -1\) мы можем сделать вывод, что вершина параболы находится в этой точке.

4. Наконец, построим график, используя все полученные данные. Отметим ось симметрии \(x = -1\) и вершину параболы в этой точке. Также отметим, что график имеет форму параболы, которая открывается вверх, так как у коэффициента при \(x^2\) положительный знак.

Давайте посмотрим на график функции \(y = (x-2)(x+4)\):

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel=\(x\),
ylabel=\(y\),
xmin=-6,
xmax=6,
ymin=-10,
ymax=20,
xtick={-4,-2,0,2,4},
ytick={-8,0,16},
samples=100
]
\addplot[domain=-6:6,thick,color=blue]{(x-2)*(x+4)};
\draw[dotted] (-1,-10) -- (-1,20);
\draw[fill=black] (-1,0) circle (2pt);
\node at (-1,-2) {\((-1, 0)\)};
\node at (2, 6) {\(y = (x-2)(x+4)\)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

На графике видно, что парабола открывается вверх и проходит через точку \((-1, 0)\), которая является вершиной параболы. Когда \(x\) находится слева от оси симметрии, график находится ниже оси \(x\), а когда \(x\) находится справа от оси симметрии, график находится выше оси \(x\). В этом графике мы видим характеристики функции второй степени \(y = (x-2)(x+4)\).