Постройте график функции y = 2 + 4⋅x/2⋅x^2 + x и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет одну общую точку

Kristalnaya_Lisica_6406

39

Чтобы построить график функции \( y = \frac{2 + 4x}{2x^2 + x} \) и определить при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) будет иметь одну общую точку с этим графиком, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Построение графика функции \( y = \frac{2 + 4x}{2x^2 + x} \).
Для начала, давайте исследуем поведение графика функции в крайних точках и около них. Для этого найдем вертикальные асимптоты и горизонтальную асимптоту функции.

a) Вертикальные асимптоты:
Вертикальные асимптоты возникают, когда знаменатель равен нулю и числитель не равен нулю.
Решим уравнение \(2x^2 + x = 0\):
\(x(2x + 1) = 0\), которое имеет два корня: \(x = 0\) и \(x = -\frac{1}{2}\).
Значит, вертикальные асимптоты находятся в точках \(x = 0\) и \(x = -\frac{1}{2}\).

b) Горизонтальная асимптота:
Чтобы найти горизонтальную асимптоту \(y = A\), используем правило Лопиталя или анализ пределов при \(x \to \infty\) и \(x \to -\infty\).
Попробуем вычислить предел:
\[\lim_{{x \to \infty}} {\frac{2 + 4x}{2x^2 + x}}\]
Используя правило Лопиталя, дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности:
\[\lim_{{x \to \infty}} {\frac{4}{4x + 2}} = 0\]
Значит, горизонтальной асимптоты нет.

Построим график функции, используя полученные данные о вертикальных асимптотах и поведении функции на интервалах между ними.

2. Определение значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет одну общую точку с графиком функции.

Чтобы найти общую точку, мы должны решить систему уравнений, состоящую из функции \( y = \frac{2 + 4x}{2x^2 + x} \) и прямой \( y = kx \).
Подставим \( kx \) вместо \( y \):
\[kx = \frac{2 + 4x}{2x^2 + x}\]
Распишем уравнение и приведем его к квадратному виду:
\[kx(2x^2 + x) = 2 + 4x\]
\[2kx^3 + kx^2 - 4x - 2 = 0\]

Мы можем решить это уравнение относительно \( x \) численно или графически, чтобы найти значения \( x \), при которых прямая и график имеют общую точку. После этого, мы можем подставить найденные значения \( x \) в уравнение прямой, чтобы найти значения \( k \).

После выполнения этих шагов, мы сможем определить, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет одну общую точку с графиком функции \( y = \frac{2 + 4x}{2x^2 + x} \).