Пожалуйста, определите значения остальных тригонометрических функций при условии, что cos(t) = 4/5, где 0 < t
Пожалуйста, определите значения остальных тригонометрических функций при условии, что cos(t) = 4/5, где 0 < t < π/2. (Необходимо записывать ответ без упрощения; если в ответе есть отрицательный знак, то записывать его только в числителе дроби).
Lisichka123 18
Дано, что \(\cos(t)=\frac{4}{5}\) при условии \(0Для начала, давайте вспомним определения и связи между тригонометрическими функциями:
\(\sin(t) = \frac{{\text{противоположная сторона}}}{{\text{гипотенуза}}} = \frac{{\sqrt{{\text{гипотенуза}^2 - \text{прилежащая сторона}^2}}}}{\text{гипотенуза}}\)
\(\tan(t) = \frac{{\sin(t)}}{{\cos(t)}}\)
\(\csc(t) = \frac{1}{{\sin(t)}}\)
\(\sec(t) = \frac{1}{{\cos(t)}}\)
\(\cot(t) = \frac{1}{{\tan(t)}}\)
Сначала найдем синус \(sin(t)\):
\(\sin(t) = \frac{{\sqrt{{\text{гипотенуза}^2 - \text{прилежащая сторона}^2}}}}{\text{гипотенуза}}\)
Мы знаем, что \(\cos(t) = \frac{4}{5}\). Используем тождество Пифагора, чтобы найти противоположную сторону. По определению функции косинуса, катет прилежащий равен 4, гипотенуза равна 5, а противоположная сторона обозначим \(x\):
\(x = \sqrt{{5^2 - 4^2}}\)
Выполняем вычисления:
\(x = \sqrt{{25 - 16}} = \sqrt{{9}} = 3\)
Теперь мы можем найти значение синуса \(sin(t)\):
\(\sin(t) = \frac{{\text{противоположная сторона}}}{{\text{гипотенуза}}} = \frac{3}{5}\)
Теперь найдем значение тангенса \(tan(t)\):
\(\tan(t) = \frac{{\sin(t)}}{{\cos(t)}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{3}{4}\)
Теперь найдем значение косеканса \(csc(t)\):
\(\csc(t) = \frac{1}{{\sin(t)}} = \frac{1}{{\frac{3}{5}}} = \frac{5}{3}\)
Затем найдем значение секанса \(sec(t)\):
\(\sec(t) = \frac{1}{{\cos(t)}} = \frac{1}{{\frac{4}{5}}} = \frac{5}{4}\)
И, наконец, найдем значение котангенса \(cot(t)\):
\(\cot(t) = \frac{1}{{\tan(t)}} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{3}\)
Итак, значения остальных тригонометрических функций при заданном условии \(\cos(t)=\frac{4}{5}\) для \(0
\(\sin(t) = \frac{3}{5}\)
\(\tan(t) = \frac{3}{4}\)
\(\csc(t) = \frac{5}{3}\)
\(\sec(t) = \frac{5}{4}\)
\(\cot(t) = \frac{4}{3}\)