Пожалуйста, постройте график функции f(x) = (x^4 - 41x^2 + 400)/(x - 5)(x

Муха

26

Конечно, я помогу вам с построением графика функции \( f(x) = \frac{{x^4 - 41x^2 + 400}}{{(x - 5)(x - 8)}} \). Давайте проведем решение пошагово.

Шаг 1: Анализ функции
Для начала, давайте проведем анализ функции, чтобы понять ее особенности.

Найдем точки разрыва функции:
\( f(x) \) будет иметь разрывы в точках, где знаменатель функции равен нулю:
\((x - 5)(x - 8) = 0\)
x = 5 или x = 8

Таким образом, функция \( f(x) \) будет иметь разрывы в точках x = 5 и x = 8.

Теперь найдем асимптоты функции:
а) Вертикальная асимптота:
В точках разрыва функции x = 5 и x = 8, функция будет иметь вертикальные асимптоты. Это означает, что функция стремится к бесконечности при приближении к этим значениям.

б) Горизонтальная асимптота:
Чтобы найти горизонтальную асимптоту, проведем лимит функции при x стремящемся к бесконечности:

\( \lim_{{x \to \infty}} f(x) = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^4 - 41x^2 + 400}}{{(x - 5)(x - 8)}} \)

Для этого лимита нам потребуется разложение на простейшие дроби.

Шаг 2: Разложение на простейшие дроби
Для разложения функции \( f(x) \) на простейшие дроби воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

\( f(x) = \frac{{x^4 - 41x^2 + 400}}{{(x - 5)(x - 8)}} = \frac{{A}}{{x - 5}} + \frac{{B}}{{x - 8}} \)

Умножим обе части выражения на \((x - 5)(x - 8)\):

\( x^4 - 41x^2 + 400 = A(x - 8) + B(x - 5) \)

Далее проведем раскрытие скобок и сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями x.

\( x^4 - 41x^2 + 400 = (A + B)x - 8A - 5B \)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
1 = A + B \\
-41 = -8A - 5B \\
\end{cases}
\]

Решим эту систему уравнений. Сложим оба уравнения друг с другом:

\( -40 = -7A - 4B \)

Выразим одну из переменных (например, B) через другую:

\( B = -\frac{{-40 - 7A}}{4} = \frac{{7A + 40}}{4} \)

Подставим полученное выражение для B в первое уравнение системы:

\( 1 = A + \frac{{7A + 40}}{4} \)

Воспользуемся общим методом решения уравнений для нахождения значения A:

\[
\begin{align*}
1 &= A + \frac{{7A + 40}}{4} \\
4 &= 4A + 7A + 40 \\
11A &= -36 \\
A &= -\frac{{36}}{11}
\end{align*}
\]

Теперь найдем значение B, подставив полученное значение A в одно из уравнений системы:

\[
B = \frac{{7A + 40}}{4} = \frac{{7 \cdot \left( -\frac{{36}}{11} \right) + 40}}{4} = \frac{{28}}{11}
\]

Таким образом, разложение функции \( f(x) \) на простейшие дроби будет выглядеть так:

\( f(x) = \frac{{-\frac{{36}}{11}}}{{x - 5}} + \frac{{\frac{{28}}{11}}}{{x - 8}} \)

Шаг 3: Построение графика функции
Теперь, когда у нас есть разложение функции на простейшие дроби, мы можем начать построение графика.

а) Горизонтальная асимптота:
Мы знаем, что у функции есть горизонтальная асимптота. Чтобы найти ее положение, рассмотрим лимит функции при \( x \) стремящемся к бесконечности:

\[
\lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{{-\frac{{36}}{11}}}{{x - 5}} + \frac{{\frac{{28}}{11}}}{{x - 8}} \right) = 0
\]

То есть, график функции будет стремиться к \( y = 0 \) при \( x \), стремящемся к бесконечности.

б) Разрывы функции:
У нашей функции есть два разрыва в точках x = 5 и x = 8. Мы можем нарисовать разрывы в виде вертикальных асимптот. Таким образом, у нас будет две вертикальные асимптоты - x = 5 и x = 8.

в) Точки пересечения с осями координат:
Давайте найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
1) Пересечение с осью \( OX \) (уравнение оси \( OX \): \( y = 0 \)):
\[
\frac{{x^4 - 41x^2 + 400}}{{(x - 5)(x - 8)}} = 0
\]
Знаменатель уравнения не может быть нулем, поэтому уравнение \( x^4 - 41x^2 + 400 = 0 \) должно иметь корни.
Найдем корни этого уравнения:
\[
x^4 - 41x^2 + 400 = 0
\]
Можно заметить, что это квадратное уравнение относительно \( x^2 \). Обозначим \( x^2 = t \) для удобства:
\[
t^2 - 41t + 400 = 0
\]
Это квадратное уравнение имеет два корня \( t_1 = 25 \) и \( t_2 = 16 \).
Найдем значения \( x \) из \( x^2 = t \):
\[
x_1 = \sqrt{25} = 5 \quad \text{(так как \( x \) не может быть отрицательным)}
\]
\[
x_2 = -\sqrt{25} = -5 \quad \text{(так как \( x \) не может быть отрицательным)}
\]
\[
x_3 = \sqrt{16} = 4 \quad \text{(так как \( x \) не может быть отрицательным)}
\]
\[
x_4 = -\sqrt{16} = -4 \quad \text{(так как \( x \) не может быть отрицательным)}
\]
Точки пересечения графика функции с осью \( OX \) будут: (5, 0), (-5, 0), (4, 0) и (-4, 0).

2) Пересечение с осью \( OY \) (уравнение оси \( OY \): \( x = 0 \)):
Подставим \( x = 0 \) в уравнение \( f(x) \):
\[
f(0) = \frac{{0^4 - 41 \cdot 0^2 + 400}}{{(0 - 5)(0 - 8)}} = \frac{{400}}{{(-5)(-8)}} = \frac{{400}}{{40}} = 10
\]
Точка пересечения графика функции с осью \( OY \) будет: (0, 10).

г) Построение графика:
Теперь у нас есть достаточно информации, чтобы построить график функции \( f(x) \).

Мы имеем:
- Две вертикальные асимптоты x = 5 и x = 8.
- Горизонтальную асимптоту y = 0.
- Точки пересечения графика с осями координат: (5, 0), (-5, 0), (4, 0) и (0, 10).

С помощью этих данных и знания о поведении функции в окрестности вертикальных асимптот, можно построить график функции \( f(x) \).

[Построение графика функции]

Таким образом, это график функции \( f(x) = \frac{{x^4 - 41x^2 + 400}}{{(x - 5)(x - 8)}} \). Я надеюсь, что эта подробная информация поможет вам понять поведение функции и увидеть распределение ее точек на графике.