Предложите выражение как сумму тригонометрических функций: 4cos(a/3) * cos(a/4) * cos(a)sin(2a) + 4sin^2(a

Filipp

53

Для начала заметим, что \(cos(a)sin(2a) = sin(2a)cos(a)\) по формуле синуса двойного аргумента \(sin(2a) = 2sin(a)cos(a)\). Следовательно, первое слагаемое можно переписать в виде: \(4cos\left(\frac{a}{3}\right) \cdot cos\left(\frac{a}{4}\right) \cdot sin(2a) \cdot cos(a) = 4sin(a)cos(a) \cdot cos\left(\frac{a}{3}\right) \cdot cos\left(\frac{a}{4}\right)\).

Теперь мы можем воспользоваться формулой понижения степени для тригонометрических функций \(cos(\alpha) \cdot cos(\beta) = \frac{1}{2}[cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)]\), где \(alpha = \frac{a}{3}\), \(beta = \frac{a}{4}\).

Подставляя значения, получим:
\[4sin(a) \cdot \frac{1}{2} \left[cos\left(\frac{a}{3} + \frac{a}{4}\right) + cos\left(\frac{a}{3} - \frac{a}{4}\right)\right] = 2sin(a) \left[cos\left(\frac{7a}{12}\right) + cos\left(\frac{a}{12}\right)\right]\].

Теперь рассмотрим второе слагаемое \(4sin^2(a) = 4(1 - cos^2(a)) = 4 - 4cos^2(a)\).

Таким образом, выражение в исходной задаче равно:
\[2sin(a) \left[cos\left(\frac{7a}{12}\right) + cos\left(\frac{a}{12}\right)\right] + 4 - 4cos^2(a)\].