Предоставлено: точка А (13 ; -2), точка В (-3; -6), точка С (4 ; 0). Найдите: а) координаты вектора АС; б) длину

Тень

27

Конечно, я помогу вам с этой задачей по геометрии. Давайте решим ее по шагам:

а) Для нахождения координат вектора АС, нужно вычесть координаты точки А из координат точки С. Таким образом, получим:
\[
\begin{align*}
x_{AC} &= x_C - x_A \\
&= 4 - 13 \\
&= -9 \\
y_{AC} &= y_C - y_A \\
&= 0 - (-2) \\
&= 2 \\
\end{align*}
\]
Значит, координаты вектора АС равны (-9; 2).

б) Чтобы найти длину вектора ВС, нужно использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в плоскости. Эта формула выглядит следующим образом:
\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}
\]
Подставим координаты точек B (-3; -6) и C (4 ; 0) в эту формулу:
\[
\begin{align*}
d_{BC} &= \sqrt{{(4 - (-3))}^2 + {(0 - (-6))}^2} \\
&= \sqrt{{7}^2 + {6}^2} \\
&= \sqrt{49 + 36} \\
&= \sqrt{85} \\
\end{align*}
\]
Таким образом, длина вектора ВС равна \(\sqrt{85}\).

в) Чтобы найти координаты середины отрезка АВ, нужно просто просуммировать соответствующие координаты точек А и В и разделить их на 2. Получим:
\[
\begin{align*}
x_{mid} &= \frac{{x_A + x_B}}{2} \\
&= \frac{{13 + (-3)}}{2} \\
&= \frac{{10}}{2} \\
&= 5 \\
y_{mid} &= \frac{{y_A + y_B}}{2} \\
&= \frac{{-2 + (-6)}}{2} \\
&= \frac{{-8}}{2} \\
&= -4 \\
\end{align*}
\]
Значит, координаты середины отрезка АВ равны (5; -4).

г) Для нахождения периметра треугольника АВС нужно вычислить длины всех его сторон, а затем просуммировать полученные значения. Сторона АВ является отрезком, для которого мы уже нашли длину в пункте б). Таким образом, длина стороны АВ равна \(\sqrt{85}\). Длины остальных сторон можно найти аналогичным образом, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками. Получим:
\[
\begin{align*}
d_{AC} &= \sqrt{{(-9 - 13)}^2 + {(2 - (-2))}^2} \\
&= \sqrt{{(-22)}^2 + {4}^2} \\
&= \sqrt{484 + 16} \\
&= \sqrt{500} \\
&= 10\sqrt{5} \\
d_{CB} &= \sqrt{{(-3 - 4)}^2 + {(-6 - 0)}^2} \\
&= \sqrt{{(-7)}^2 + {(-6)}^2} \\
&= \sqrt{49 + 36} \\
&= \sqrt{85} \\
\end{align*}
\]
Следовательно, периметр треугольника АВС равен \(\sqrt{85} + \sqrt{10} + \sqrt{5}\).

д) Для нахождения длины медианы треугольника АВС, нужно сначала найти середину стороны ВС. Мы уже это сделали в пункте в), и координаты середины ВС равны (5; -4). Затем нужно найти расстояние от середины стороны ВС до точки А. Вычислим это расстояние, используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками:
\[
\begin{align*}
d_{midA} &= \sqrt{{(5 - 13)}^2 + {(-4 - (-2))}^2} \\
&= \sqrt{{(-8)}^2 + {(-2)}^2} \\
&= \sqrt{64 + 4} \\
&= \sqrt{68} \\
&= 2\sqrt{17} \\
\end{align*}
\]
Таким образом, длина медианы треугольника АВС равна \( 2\sqrt{17} \).

Это полное решение данной задачи. Пожалуйста, сообщите, если вам нужно что-то еще или есть дополнительные вопросы.