Предоставлены векторы a, b, c, которые не находятся в одной плоскости. Известно, что d = a - 2b + 3c. Необходимо найти

Vesenniy_Les

64

Для нахождения разложения вектора \(d_1\) по векторам \(a\), \(b\) и \(c\) воспользуемся принципом линейности.

Известно, что векторы \(d\) и \(d_1\) сонаправлены, а длина вектора \(d_1\) втрое превышает длину вектора \(d\).

Представим вектор \(d_1\) как линейную комбинацию векторов \(a\), \(b\) и \(c\), где коэффициенты перед векторами будут искомыми разложениями:

\[d_1 = \alpha a + \beta b + \gamma c\]

Длина вектора \(d_1\) втрое превышает длину вектора \(d\), поэтому:

\[\|\alpha a + \beta b + \gamma c\| = 3\|a - 2b + 3c\|\]

Раскроем норму слева по определению:

\(\sqrt{\left(\alpha \|a\| + \beta \|b\| + \gamma \|c\|\right)^2} = 3\|a - 2b + 3c\|\)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\(\left(\alpha \|a\| + \beta \|b\| + \gamma \|c\|\right)^2 = 9\|a - 2b + 3c\|^2\)

Раскрываем квадрат слева:

\(\alpha^2 \|a\|^2 + \beta^2 \|b\|^2 + \gamma^2 \|c\|^2 + 2\alpha\beta \|a\|\|b\| + 2\alpha\gamma \|a\|\|c\| + 2\beta\gamma \|b\|\|c\| = 9(a - 2b + 3c)^2\)

Учитывая, что векторы \(a\), \(b\) и \(c\) не находятся в одной плоскости, то скалярные произведения \(\|a\|\|b\|\), \(\|a\|\|c\|\) и \(\|b\|\|c\|\) равны нулю. Поэтому упростим уравнение:

\(\alpha^2 \|a\|^2 + \beta^2 \|b\|^2 + \gamma^2 \|c\|^2 = 9(a - 2b + 3c)^2\)

Выразим коэффициенты \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) через векторы \(a\), \(b\) и \(c\):

\(\alpha = \frac{3(a - 2b + 3c)^2}{\|a\|^2}\)

\(\beta = \frac{3(a - 2b + 3c)^2}{\|b\|^2}\)

\(\gamma = \frac{3(a - 2b + 3c)^2}{\|c\|^2}\)

Таким образом, разложение вектора \(d_1\) по векторам \(a\), \(b\) и \(c\) имеет вид:

\[d_1 = \frac{3(a - 2b + 3c)^2}{\|a\|^2}a + \frac{3(a - 2b + 3c)^2}{\|b\|^2}b + \frac{3(a - 2b + 3c)^2}{\|c\|^2}c\]