Предоставляется треугольник и проводятся прямые через каждую его вершину параллельно противоположной стороне

Yana

39

Для доказательства того, что вершины исходного треугольника являются серединами сторон нового треугольника, воспользуемся свойствами параллельных прямых и средней линии треугольника.

Пусть у нас есть треугольник ABC, и через каждую его вершину мы проводим прямые DE, FG и HI, параллельные противоположным сторонам. Таким образом, мы получаем новый треугольник DFG.

Возьмем точку M на стороне BC, которая является серединой этой стороны треугольника ABC. Заметим, что DM является средней линией треугольника ABC, а значит делит сторону BC на две равные части (т.е. BM = MC).

Теперь обратимся к треугольнику DFG. Так как DE и FG параллельны сторонам треугольника ABC, то по свойству параллельных прямых прямые EI и FH также параллельны сторонам треугольника ABC.

Посмотрим на точку N на стороне FG, которая является серединой этой стороны треугольника DFG. Заметим, что FN является средней линией треугольника DFG, а значит делит сторону FG на две равные части (т.е. FN = NG).

Теперь обратим внимание на точки M и N. Мы знаем, что BM = MC, а также FN = NG. Но поскольку сторона FG является продолжением стороны BC треугольника ABC, то FN также равно половине стороны BC треугольника ABC (т.е. FN = MC).

Таким образом, мы видим, что точка M является серединой стороны BC треугольника ABC, а также FN является серединой стороны FG треугольника DFG. Из этого следует, что точки B и C являются серединами сторон DE и EH соответственно, так как FG параллельна BC.

Аналогичным образом, можно доказать, что точки A и C также являются серединами соответствующих сторон треугольника DFG.

Таким образом, вершины треугольника ABC являются серединами сторон треугольника DFG. Доказательство завершено.

\[ \Delta ABC \sim \Delta DFG \]

Надеюсь, что объяснение было понятным и подробным.