При каких целых значениях n функция y=lg(nx^2-5x+1) имеет область определения (-∞; 1/4] U [1; +∞)?

Pchelka

68

Чтобы найти значения n, при которых функция y = lg(nx^2 - 5x + 1) имеет заданную область определения, мы должны рассмотреть два случая: когда аргумент логарифма больше нуля и когда аргумент логарифма меньше или равен нулю.

Для начала, чтобы определить, при каких значениях n аргумент логарифма больше нуля, решим неравенство nx^2 - 5x + 1 > 0.

1. Начнём с того, что найдём корни квадратного уравнения nx^2 - 5x + 1 = 0. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, которая гласит:

D = (-5)^2 - 4n(1)(1)

D = 25 - 4n

2. Теперь мы можем рассмотреть различные случаи в зависимости от значения дискриминанта.

a. Если D > 0, то у нас есть два различных корня уравнения.

b. Если D = 0, то корень уравнения является кратным.

c. Если D < 0, то у уравнения нет реальных корней.

3. Если у нас есть два различных корня, то мы будем искать значения x, при которых функция положительна. Для этого можно построить график функции и определить интервалы, на которых она положительна.

4. Если у нас есть один кратный корень, то мы будем искать значения x, при которых функция положительна или равна нулю.

5. Если у нас нет реальных корней, то аргумент функции всегда положителен или равен нулю.

Теперь рассмотрим случай, когда аргумент логарифма меньше или равен нулю: nx^2 - 5x + 1 ≤ 0.

1. Повторим шаги 1-3 для нахождения корней уравнения nx^2 - 5x + 1 = 0 и определения интервалов, на которых функция отрицательна или равна нулю.

2. Затем мы будем искать значения x, при которых функция отрицательна или равна нулю.

3. Если нашли такие значения x, то найдём значения n, чтобы данный интервал попадал в заданную область определения.

Используя эти шаги, мы сможем найти значения n, при которых функция y = lg(nx^2 - 5x + 1) имеет область определения (-∞; 1/4] U [1; +∞).